第3章《中心对称图形（一）》易错题集(08)：3.6+三角形、梯形的(3)

故选B． 6．（2008?铜仁地区）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB=6，BC=10，MN=1.5，则△ABC的周长是（ ）

A．28 B．32 C．18 D．25 【专题】压轴题．

【分析】延长线段BN交AC于E，从而构造出全等三角形，（△ABN≌△AEN），进而证明MN是中位线，从而求出CE的长． 【解答】解：延长线段BN交AC于E． ∵AN平分∠BAC，

∴∠BAN=∠EAN，AN=AN，∠ANB=∠ANE=90°， ∴△ABN≌△AEN， ∴AE=AB=6，BN=NE，

又∵M是△ABC的边BC的中点， ∴CE=2MN=2×1.5=3，

∴△ABC的周长是AB+BC+AC=6+10+6+3=25， 故选D．

7．（2008?随州）如图，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，则下列判断错误的是（ ）

A．四边形AEDF一定是平行四边形 B．若∠A=90°，则四边形AEDF是矩形

C．若AD平分∠A，则四边形AEDF是正方形 D．若AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形 【分析】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

【解答】解：A、∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴DE、DF为△ABC得中位线， ∴ED∥AC，且ED=AC=AF；同理DF∥AB，且DF=AB=AE， ∴四边形AEDF一定是平行四边形，正确．

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B、若∠A=90°，则四边形AEDF是矩形，正确；

C、若AD平分∠A，延长AD到M，使DM=AD，连接CM，由于BD=CD，DM=AD， ∠ADB=∠CDB，（SAS）∴△ABD≌△MCD∴CM=AB，又∵∠DAB=∠CAD， ∠DAB=∠CMD，∴∠CMD=∠CAD，∴CA=CM=AB，因AD平分∠A ∴AD⊥BC，则△ABD≌△ACD；AB=AC，AE=AF， 结合（1）四边形AEDF是菱形，因为∠A不一定是直角 ∴不能判定四边形AEDF是正方形；

D、若AD⊥BC，则△ABD≌△ACD；AB=AC，AE=AF，结合（1）四边形AEDF是菱形，正确． 故选C． 8．（2008?嘉兴）如图，△ABC中，已知AB=8，BC=6，CA=4，DE是中位线，则DE=（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【分析】由D，E分别是边AB，AC的中点，首先判定DE是三角形的中位线，然后根据三角形的中位线定理求得DE的值即可． 【解答】解：∵DE是△ABC的中位线， ∴DE=BC， ∵BC=6， ∴DE=BC=3．

故选B． 9．（2008?大庆）如图，将非等腰△ABC的纸片沿DE折叠后，使点A落在BC边上的点F处．若点D为AB边的中点，则下列结论：①△BDF是等腰三角形；②∠DFE=∠CFE；③DE是△ABC的中位线，成立的有（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【专题】压轴题．

【分析】根据图形可知△DFE是△ADE对折而成，所以两三角形全等，可得AD=DF，而D是AB中点，故有BD=DF，那么①可证；再利用∠ADF是△BDF的外角，可证∠DFB=∠EDF，那么DE∥BC，即DE是△ABC的中位线，②得证；利用DE∥BC，以及△DFE和△ADE的对折，可得∠EFC=∠ECF，即△EFC也是等腰三角形，而∠B≠∠C，即∠DFB，∠DFE，∠EFC，不会同时为60°，那么∠DFE≠∠CFE，故②不成立．

【解答】解：由于△DFE是△ADE对折而成，故△DFE≌△ADE，

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∴AD=FD，

又∵点D为AB边的中点， ∴AD=BD，

∴BD=DF，即△BDF是等腰三角形，故（1）正确； 由于△DFE是△ADE对折而成，故△DFE≌△ADE， ∴∠ADE=∠FDE，

∵∠ADF=2∠FDE=∠B+∠DFB=2∠DFB， ∴∠FDE=∠DFB，

∴DE∥BC，点E也是AC的中点，故（3）正确；

同理可得△EFC也为等腰三角形，∠C=∠EFC，由于△ABC是非等腰的， ∴∠C≠∠B，也即∠EFC≠∠DFB，

∴∠EFC与∠DFB，∠DFE不都等于60°， ∴②∠DFE=∠CFE就不成立． 故选B． 10．（2007?随州）如图，沿Rt△ABC的中位线DE剪切一刀后，用得到的△ADE和四边形DBCE拼图，下列图形中不一定能拼出的是（ ）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 【专题】压轴题；操作型．

【分析】可动手拼图，先画出图形再根据已知条件解答． 【解答】解：

如图：①为矩形；②为平行四边形，若∠B=60°时为菱形；③等腰梯形． 故选C． 11．（2007?娄底）如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线DE剪开后，可以拼成的四边形是（ ）

A．矩形或等腰梯形 B．矩形或平行四边形 C．平行四边形或等腰梯形

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D．矩形或等腰梯形或平行四边形

【分析】能够根据图形的变换：平移，轴对称，旋转三种变换进行拼图． 【解答】解：如图示，

若把△ADE绕点E旋转180°可得矩形；若把△ADE绕点D旋转180°，即可得到平行四边形；若把△ADE向下平移AD个单位长度，再沿BD翻折，即可得到等腰梯形，故选

D．

12．（2007?贵港）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是AB、AC的中点，F、G为BC上的两点，FG=3，线段DG，EF的交点为O，当线段FG在线段BC上移动时，三角形FGO的面积与四边ADOE的面积之和恒为定值，则这个定值是（ ）

A．15 B．12 C．9 D．6 【专题】压轴题；动点型．

【分析】连接DE，过A作AH⊥BC于H．由于DE是AB、AC的中点，利用三角形中位线定理可得DE∥BC，并且可知△ADE的高等于AH，再结合等腰三角形三线合一性质，以及勾股定理可求AH，那么△ADE的面积就可求．而所求S△FOG+S四边形

ADOE=S△ADE+S△DOE+S△FOG，又因为△DOE和△FOG的底相等，高之和等于AH的一半，故它们的面积和可求，从而可以得到S△FOG+S四边形ADOE的面积． 【解答】解：如图：连接DE，过A向BC作垂线，H为垂足， ∵△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，

∴DE，AH分别是△ABC的中位线和高，BH=CH=BC=×6=3， ∵AB=AC=5，BC=6，由勾股定理得AH=∴S△ADE=BC?

=×3×=3，

=2，

=

=4，

设△DOE的高为a，△FOG的高为b，则a+b=

∴S△DOE+S△FOG=DE?a+FG?b=×3（a+b）=×3×2=3，

∴三角形FGO的面积与四边ADOE的面积之和恒为定值，则这个定值是 S△ADE+S△DOE+S△FOG=3+3=6． 故选D．

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13．（2006?韶关）如图，已知△ABC的周长为1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，…，依此类推，则第10个三角形的周长为（ ）

A．

B．

C．

D．

【专题】压轴题；规律型．

【分析】根据三角形的中位线定理建立周长之间的关系，按规律求解． 【解答】解：根据三角形中位线定理可得第二个三角形的各边长都等于最大三角形各边的一半，那么第二个三角形的周长=△ABC的周长×=1×=，第三个三角形的周长为=△ABC的周长××=（），第10个三角形的周长=（），故选C．

14．（2006?杭州）如图，△ABC、△ADE及△EFG都是等边三角形，D和G分别为AC和AE的中点．若AB=4时，则图形ABCDEFG外围的周长是（ ）

2

9

A．12 B．15 C．18 D．21

【分析】利用平移性质可得图形ABCDEFG外围的周长等于等边三角形△ABC的周长加上AE，GF长，利用三角形中位线长定理可得其余未知线段的长．

【解答】解：∵△ABC、△ADE及△EFG都是等边三角形，D和G分别为AC和AE的中点，AB=AC=BC=4

∴DE=CD=AC=×4=2，EF=GF=AG=DE=×2=1

∴图形ABCDEFG外围的周长是AB+CD+BC+DE+EF+GF+AG=4+2+4+2+1+1+1=15 故选B．

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