4-3-3圆与扇形 题库教师版(5)

.DS

【例 31】 如图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周的中点，BC是半圆的直径．已知AB?BC?10，

那么阴影部分的面积是多少？(圆周率取3.14)

ABABPDPD

【解析】 连接PD、AP、BD，如图，PD平行于AB，则在梯形ABDP中，对角线交于M点，那么?ABD与

?ABP面积相等，则阴影部分的面积转化为?ABP与圆内的小弓形的面积和． ?ABP的面积为：10??10?2??2?25；

弓形面积： 3.14?5?5?4?5?5?2?7.125； 阴影部分面积为：25?7.125?32.125．

【例 32】 图中给出了两个对齐摆放的正方形，并以小正方形中右上顶点为圆心，边长为半径作一个扇形，

按图中所给长度阴影部分面积为 ；(π?3.14)

EABCC46

D4C6

【解析】 连接小正方形AC,有图可见

S阴影?S△ACD?S扇形?S△ABC

111∵?AC2??4?4 2222∴AC?32

同理CE2?72，∴AC?CE?48

1∴S△ACD??48?24

2901S扇形?π?42?12.56，S△ABC??4?4?8

3602∴S阴影?24?12.56?8?28.56

【例 33】 如图，图形中的曲线是用半径长度的比为2:1.5:0.5的6条半圆曲线连成的．问：涂有阴影的部

分的面积与未涂有阴影的部分的面积的比是多少？ 【解析】 ation.DSMT4

1，如图： 4A'ABDCB'

因此DC边扫过图形的面积为4π，BC边扫过图形的面积为

9π 4.DS

【解析】 假设最小圆的半径为r，则三种半圆曲线的半径分别为4r，3r和r．

11122 阴影部分的面积为：π?4r??π?3r??πr2?πr2?5πr2，

2222空白部分的面积为：π?4r??5πr2?11πr2，

则阴影部分面积与空白部分面积的比为5:11．

【例 34】 (2008年西城实验考题)奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为6厘米，外圆直径

为8厘米的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形(阴影部分)的面积都相等，已知五个圆环盖住的面积是77.1平方厘米，求每个小曲边四边形的面积．(π?3.14)

【解析】 ⑴每个圆环的面积为：π?4?π?3?7π?21.98(平方厘米)；

⑵五个圆环的面积和为：21.98?5?109.9(平方厘米)； ⑶八个阴影的面积为：109.9?77.1?32.8(平方厘米)； ⑷每个阴影的面积为：32.8?8?4.1(平方厘米)．

【例 35】 已知正方形ABCD的边长为10厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小圆，

再将对边中点用直线连擎起来得右图．那么，图中阴影部分的总面积等于______方厘米．(π?3.14)

2239.25 【解析】

【例 36】 如图，ABCD是边长为a的正方形，以AB、BC、CD、DA分别为直径画半圆，求这四个半圆弧所

围成的阴影部分的面积．(π取3)

【解析】 ation.DSMT4

1，如图： 4A'ABDCB'

因此DC边扫过图形的面积为4π，BC边扫过图形的面积为

9π 4.DS

ADADBa

【解析】 这道题目是很常见的面积计算问题．阴影部分是一个花瓣状的不规则图形，不能直接通过面积公式

求解，观察发现阴影部分是一个对称图形，我们只需要在阴影部分的对称轴上作两条辅助线就明了了．

如图，这样阴影部分就划分成了4个半圆减去三角形，我们可以求得，

S阴影?4??S半圆?S三角形?

2?1a??a?1 ?4?????????a??

2??2?2?2??1 ?a2

2CBaC

【巩固】如图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆．求阴影

部分面积．(π取3) AADDBCBC

【解析】 由题可知，图中阴影部分是两个扇形重叠的部分，我们可以利用容斥原理从图形整体上考虑来求阴

影部分面积；同样，我们也可以通过作辅助线直接求阴影部分的面积．

解法一：把两个扇形放在一起得到1个正方形的同时还重叠了一块阴影部分．

1则阴影部分的面积为??π?42?4?4?8；

2解法二：连接AC，我们发现阴影部分面积的一半就是扇形减去三角形的面积，

1所以阴影部分面积?2?（?π?42?4?4?2）?8．

4

【解析】 ation.DSMT4

1，如图： 4A'ABDCB'

因此DC边扫过图形的面积为4π，BC边扫过图形的面积为

9π 4.DS

【例 37】 (2008年四中考题)已知三角形ABC是直角三角形，AC?4cm，BC?2cm，求阴影部分的面

积．

B

【解析】 从图中可以看出，阴影部分的面积等于两个半圆的面积和与直角三角形ABC的面积之差，所以阴影

1?4?1?2?1部分的面积为：π????π?????4?2?2.5π?4?3.85(cm2)．

2?2?2?2?222AC

【例 38】 （奥林匹克决赛试题）在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都

是100平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，3张纸片共同重叠的面积是42平方厘米.那么图中3个阴影部分的面积的和 是平方厘米.

【解析】 根据容斥原理得100?3?S阴影?2?42?144，所以S阴影?100?3?144?2?42?72（平方厘米）

【例 39】 (2008年国际小学数学竞赛)如图所示，ABCD是一边长为4cm的正方形，E是AD的中点，而

F是BC的中点．以C为圆心、半径为4cm的四分之一圆的圆弧交EF于G，以F为圆心、半径为2cm的四分之一圆的圆弧交EF于H点，若图中S1和S2两块面积之差为mπ?n(cm2)(其中m、n为正整数)，请问m?n之值为何？

AES2GS1HDASS1ES2GHDB【解析】 ation.DSMT4

F1，如图： 4C

BF图1C

A'ABDCB'

因此DC边扫过图形的面积为4π，BC边扫过图形的面积为

9π 4.DS

1【解析】 (法1)S?FCDE?2?4?8cm2，S扇形BCD??π?42?4π(cm2)，

41S扇形BFH??π?22?π(cm2)，而

4S1?S2?S扇形BCD?S扇形BFH?S?FCDE?4π?π?8?3π?8(cm2)，

所以m?3，n?8，m?n?3?8?11．

(法2)如右上图，S?S1?SBFEA?S扇形BFH?2?4?2?2?π?4?8?π(cm2)， S?S2?SABCD?S扇形BCD?4?4?4?4?π?4?16?4π(cm2)，

所以，S1?S2?(8?π)?(16?4π)?3π?8(cm2)，故m?n?3?8?11．

【巩固】在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差．(圆周率取3.14)

【解析】 我们只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解．左边的阴影是大扇形减去小扇形，再扣除一个长方

形中的不规则白色部分，而右边的阴影是长方形扣除这块不规则白色部分，那么它们的差应为大扇

ππ形减去小扇形，再减去长方形．则为：?4?4??2?2?4?2?3?3.14?8?1.42．

44

【例 40】 如图，矩形ABCD中，AB?6厘米，BC?4厘米，扇形ABE半径AE?6厘米，扇形CBF的半径CB?4

厘米，求阴影部分的面积．(π取3)

AFDEBC

【解析】 方法一：观察发现，阴影部分属于一个大的扇形，而这个扇形除了阴影部分之外，还有一个不规则

的空白部分ABFD在左上，求出这个不规则部分的面积就成了解决这个问题的关键． 我们先确定ABFD的面积，因为不规则部分ABFD与扇形BCF共同构成长方形ABCD，

1所以不规则部分ABFD的面积为6?4??π?42?12(平方厘米)，

4再从扇形ABE中考虑，让扇形ABE减去ABFD的面积， 【解析】 ation.DSMT4

1，如图： 4A'ABDCB'

因此DC边扫过图形的面积为4π，BC边扫过图形的面积为

9π 4

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