4-3-3圆与扇形 题库教师版(4)

.DS

所以BC弧所对的圆心角是60?，6个BC弧合起来等于直径5厘米的圆的周长． 而线段AB等于塑料管的直径，

由此知绳长为：5?6?5π?45(厘米)．

【例 22】 如图，边长为12厘米的正五边形，分别以正五边形的5个顶点为圆心，12厘米为半径作圆弧，

请问：中间阴影部分的周长是多少？(π?3.14)

【解析】 如图，点C是在以B为中心的扇形上，所以AB?CB，同理CB?AC，则?ABC是正三角形，同理，

有?CDE是正三角形．有?ACB??ECD?60?，正五边形的一个内角是180??360??5?108?，因此

?ECA?60??2?108??12?，也就是说圆弧AE的长度是半径为12厘米的圆周的一部分，这样相同

12?的圆弧有5个，所以中间阴影部分的周长是2?3.14?12??5?12.56?cm?．

360?

【例 23】 如图是一个对称图形．比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小，得：黑色部分面积________

灰色部分面积．

【解析】 图中四个小圆的半径为大圆半径的一半，所以每个小圆的面积等于大圆面积的

1，则4个小圆的面4积之和等于大圆的面积．而4个小圆重叠的部分为灰色部分，未覆盖的部分为黑色部分，所以这两部分面积相等，即灰色部分与黑色部分面积相等．

【例 24】 如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为S1，空白部分面积为S2，那么这两个

部分的面积之比是多少？(圆周率取3.14)

【解析】 ation.DSMT4

1，如图： 4A'ABDCB'

因此DC边扫过图形的面积为4π，BC边扫过图形的面积为

9π 4.DS

【解析】 如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆的内接正方形．设

大圆半径为r，则S2?2r2，S1??r2?2r2，所以S1:S2??3.14?2?:2?57:100．

移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系．

【例 25】 用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝板．问：所余下的

边角料的总面积是多少平方厘米？

【解析】 大圆直径是小圆的3倍，半径也是3倍，小圆面积∶大圆面积?πr2:πR2?1:9，

1小圆面积?36??4，7个小圆总面积?4?7?28，

9边角料面积?36?28?8(平方厘米)．

【例 26】 如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是1．求阴影部分的面积．

【解析】 由于直接求阴影部分面积太麻烦，所以考虑采用增加面积的方法来构造新图形．

【解析】 ation.DSMT4

1，如图： 4A'ABDCB'

因此DC边扫过图形的面积为4π，BC边扫过图形的面积为

9π 4.DS

由右图可见，阴影部分面积等于面积)，所以相当于

11大圆面积减去一个小圆面积，再加上120?的小扇形面积(即小圆

3612大圆面积减去小圆面积．而大圆的半径为小圆的3倍，所以其面积为小圆的

362?5?132?9倍，那么阴影部分面积为??9???π?12?π?2.5．

3?6?6

【例 27】 如图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040平方厘米，空白部分是6个半径为

10厘米的小扇形．(圆周率取3.14)

BACO

【解析】 所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积、正六边形的面积已知，现在关键是小

nπR2扇形面积如何求，有扇形面积公式S扇?．

360可求得，需要知道半径和扇形弧的度数，由已知正六边形每边所对圆心角为60°，那么?AOC?120?，又知四边形ABCO是平行四边形，所以?ABC?120?，这样就可求出扇形的面积和为1206??π?102?628(平方厘米)，阴影部分的面积?1040?628?412(平方厘米)． 360

??DB?，M是AC?CD【例 28】 (09年第十四届华杯赛初赛)如下图所示，AB是半圆的直径，O是圆心，??的中点，H是弦CD的中点．若N是OB上一点，半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部CD分的面积是 平方厘米．

CMHDA

【解析】 如下图所示，连接OC、OD、OH．

ONB【解析】 ation.DSMT4

1，如图： 4A'ABDCB'

因此DC边扫过图形的面积为4π，BC边扫过图形的面积为

9π 4.DS

CMHD

?的中点，H是弦CD的中点，可见这个图形是本题中由于C、D是半圆的两个三等分点，M是CD对称的，由对称性可知CD与AB平行．由此可得?CHN的面积与?CHO的面积相等，所以阴影部分

1面积等于扇形COD面积的一半，而扇形COD的面积又等于半圆面积的，所以阴影部分面积等于

311半圆面积的，为12??2平方厘米．

66

【巩固】如图，C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，O是圆心，且半径为6．求图中阴影部分的面积．

AONBCDCDAOBAOB

【解析】 如图，连接OC、OD、CD．

由于C、D是半圆的三等分点，所以?AOC和?COD都是正三角形，那么CD与AO是平行的．所以?ACD的面积与?OCD的面积相等，那么阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，为

1π?62??18.84．

6

【例 29】 如图，两个半径为1的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心，求图中两块阴影

部分的面积之差．(π取3)

OBADC

【解析】 本题要求两块阴影部分的面积之差，可以先分别求出两块阴影部分的面积，再计算它们的差，但是

这样较为繁琐．由于是要求面积之差，可以考虑先从面积较大的阴影中割去与面积较小的阴影相同的图形，再求剩余图形的面积．

如右图所示，可知弓形BC或CD均与弓形AB相同，所以不妨割去弓形BC．剩下的图形中，容易看出来AB与CD是平行的，所以?BCD与?ACD的面积相等，所以剩余图形的面积与扇形ACD的【解析】 ation.DSMT4

1，如图： 4A'ABDCB'

因此DC边扫过图形的面积为4π，BC边扫过图形的面积为

9π 4.DS

面积相等，而扇形ACD的面积为π?12?60?0.5，所以图中两块阴影部分的面积之差为0.5． 360

【例 30】 如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率

取3.14)

DDEEAAMFFBCBC

【解析】 方法一：设小正方形的边长为a，则三角形ABF与梯形ABCD 的面积均为?a?12??a?2．阴影部

分为：大正方形?梯形?三角形ABF?右上角不规则部分?大正方形?右上角不规则部分?1圆．因4此阴影部分面积为：3.14?12?12?4?113.04．

方法二：连接AC、DF，设AF与CD的交点为M，由于四边形ACDF是梯形，根据梯形蝴蝶定理有S△ADM?S△CMF，所以S阴影?S扇形DCF?3.14?12?12?4?113.04

【巩固】如右图，两个正方形边长分别是10和6，求阴影部分的面积．(π取3)

GFEDGFEDACB610

【解析】 (法1)观察可知阴影部分面积等于三角形ACD的面积减去月牙BCD的面积，那么求出月牙BCD的

面积就成了解题的关键．

1月牙BCD的面积为正方形BCDE的面积减去四分之一圆：6?6??π?6?6?9；

4则阴影部分的面积为三角形ACD的面积减去月牙BCD的面积，为：

1S阴影???10?6??6?9?39．

2(法2)观察可知AF和BD是平行的，于是连接AF、BD、DF． 则?ABD与?BDF面积相等，那么阴影部分面积等于?BDF与小弓形的面积之和，也就等于?DEF与

11扇形BED的面积之和，为：(10?6)?6???π?62?39．

2410B6AC【解析】 ation.DSMT4

1，如图： 4A'ABDCB'

因此DC边扫过图形的面积为4π，BC边扫过图形的面积为

9π 4

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