2010年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数 学（文科）(4)

解得??x?2, ?12分

?y?0.x2y2??1上, ∵点(2,0)在椭圆C1:43 ∴无论点T运动到何处,圆C3恒经过椭圆C1上一定点?2,0?. ?14分 证法2: 设点T的坐标为(x0,y0),圆C3的半径为r， ∵ 点T是抛物线C2:y2?4x上的动点,

2 ∴ y0?4x0(x0?0). ?7分

∵ 圆C3与y轴交于M,N两点，且|MN|?4, ∴ |MN|?2r?x0?4. ∴ r?24?x0. 222 ∴ 圆C3的方程为(x?x0)2?(y?y0)2?4?x0.

????? ?9分

2 令x0?0,则y0?4x0?0,得y0?0.

此时圆C3的方程为x?y?4. ?10分

22?x2?y2?4,?x??2,?2 由?x2解得 ?y?1,?y?0.??3?4 ∴圆C3:x2?y2?4与椭圆C1的两个交点为?2,0?、??2,0?. ?12分 分别把点?2,0?、??2,0?代入方程?????进行检验，

可知点?2,0?恒符合方程?????，点??2,0?不恒符合方程?????.

∴无论点T运动到何处,圆C3恒经过椭圆C1上一定点?2,0?. ?14分 21．（本小题满分14分）

(本小题主要考查导数及其应用、数列、不等式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括

能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1) 解: 数列??1??为等差数列. ?1分 ?an?第 16 页 共 18 页

理由如下:

∵对任意n?N都有an?bn?1,

*an?1b?n2, an1?an ∴

an?1b1?an1. ?n2??2an1?an1?an1?an1111??1,即??1. ?3分

∴

an?1anan?1an ∴数列?1???a?是首项为1n?a,公差为1的等差数列. 1(2) 证明: ∵a1?b1, 且a1?b1?1, ∴a11?b1?2. 由(1)知

1a?2??n?1??n?1. n ∴ a1n?n?1, bnn?1?an?n?1. n?1n 所证不等式?1?an?1?bn1?n?n?1,即???1??n?n?1?????n?1???1,

n?1n 也即证明??1??1?n?1?????1??1?n??. 令f?x??lnxx?1?x?1?, x?1?lnx 则f'?x??x(x?1)2. 再令g?x??x?1x?lnx, 则g'?x??1x?1x?1?x2x2. 当x?1时, g'?x??0,

∴函数g?x?在?1,???上单调递减. ∴当x?1时,g?x??g?1??0,即

x?1x?lnx?0. 第 17 页 共 18 页?4分

?6分 ?8分

x?1?lnx'?0. ∴当x?1时, f?x??x(x?1)2lnx在?1,???上单调递减. ?10分 ∴函数f?x??x?1∵1?1?1n?1?1?1n, ∴f??1?1??n?1???f??1??1?n??. ln??∴?1?1??1?n?1??ln?1????n?. 1?1n?1?11?1 n?1n?1n∴ln??1??1?n?1???ln???1?1?n??.

n?1n∴??1??1?n?1??????1?1?n??. ∴?1?a1n?n??bnn?1成立. 第 18 页 共 18 页

?12分

?14分

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