2010年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数 学（文科）(3)

17．（本小题满分12分）

(本小题主要考查独立性检验的基本思想、方法及其简单应用和概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法， 以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) （1）解：2×2列联表为(单位:人):

物理成绩优秀 物理成绩不优秀 合 计 数学成绩优秀 5 1 6 数学成绩不优秀 2 12 14 合 计 7 13 20 ?4分 （2）解：提出假设H0：学生数学成绩与物理成绩之间没有关系.

20?(5?12?1?2)2?8.802?7.879. ?6分 根据列联表可以求得K?6?14?7?132 当H0成立时，P(K2?7.879)?0.005.（数学驿站 www.maths168.com）

所以我们有99.5%的把握认为：学生的数学成绩与物理成绩之间有关系. ?8分 （3）解：由(1)可知数学成绩与物理成绩都优秀的学生的人数为5人，

则数学成绩与物理成绩至少有一门不优秀的学生人数为15人. ?10分 故从20名学生中抽出1名,抽到的学生数学成绩与物理成绩至少有一门不优秀的概率为18. （本小题满分14分）

(本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法， 以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) （1）证法1：设点P为AD的中点，连接MP,NP.

∵ 点M是BC的中点,

∴ MP//CD.（数学驿站 www.maths168.com） ∵ CD?平面ACD,MP?平面ACD, 11∴ MP//平面ACD. ?2分 1∵ 点N是AA1的中点, ∴ NP//A1D.

∵ A1D?平面ACD,NP?平面ACD, 11∴ NP//平面ACD. ?4分 1BAPMCDA1B1NC1D1153?. ?12分 204第 11 页 共 18 页

∵ MP?NP?P,MP?平面MNP,NP?平面MNP, ∴ 平面MNP//平面ACD. 1∵ MN?平面MNP,

∴MN//平面ACD. ?6分 1证法2: 连接AM并延长AM与DC的延长线交于点P, 连接A1P, ∵ 点M是BC的中点, ∴ BM?MC.

∵ ?BMA??CMP, ?MBA??MCP?90, ∴ RtMBA?RtMCP. ?2分

∴ AM?MP.

ADCP?A1B1ND1C1 ∵ 点N是AA1的中点,

∴ MN//A1P. ?4分

∵ A1P?平面ACD,MN?平面ACD, 11 ∴ MN//平面ACD. ?6分 1 (2) 解: 取BB1的中点Q, 连接NQ,CQ, ∵ 点N是AA1的中点, ∴ NQ//AB. ∵ AB//CD, ∴ NQ//CD.

BQAB1NA1C1BMD1DMC ∴ 过N,C,D三点的平面NQCD把长方体ABCD?A1BC11D1截成两部分几何体,

其中一部分几何体为直三棱柱QBC?NAD, 另一部分几何体为直四棱柱B1QCC1?A1NDD1. ?8分 ∴ S?QBC?111?QB?BC??1?1?, 2221, ?10分 2 ∴ 直三棱柱QBC?NAD的体积V1?S?QBC?AB??2, ∵ 长方体ABCD?A1BC11D1的体积V?1?1?2 ∴直四棱柱B1QCC1?A1NDD1体积V2?V?V1?3. ?12分 2第 12 页 共 18 页

1V1 ∴ 1?2?.

V23321 ∴ 所截成的两部分几何体的体积的比值为. ?14分

3 (说明:

V2?3也给分) V119．（本小题满分14分）

(本小题主要考查函数和方程、分段函数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象 概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) （1）解：依题意，得y??（2）解：∵0?a?5，

∴9?9?a?14.

由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于

最低限量m立方米. ?4分 将?0?x?m,?????9?a, 其中0?a?5. ?2分 ??????9?n?x?m??a,x?m.?x?4,?x?5,和?分别代入????，

?y?17?y?23??17?9?n?4?m??a,得? ?6分

23?9?n5?m?a.????两式相减, 得n?6.

代入17?9?n?4?m??a,得a?6m?16. ?8分 又三月份用水量为2.5立方米，

?x?2.5,m?2.5若，将?代入????，得a?6m?13，

?y?11这与a?6m?16矛盾. ?10分 ∴m?2.5，即该家庭三月份用水量2.5立方米没有超最低限量.

?x?2.5,将?代入???，得11?9?a，

y?11?由??a?6m?16,?a?2, 解得? ?13分

?11?9?a.?m?3.第 13 页 共 18 页

答：该家庭今年一、二月份用水超过最低限量，三月份用水没有超过最低限量，

且m?3,n?6,a?2. ?14分 20．（本小题满分14分）

(本小题主要考查直线、圆、抛物线、椭圆等知识, 考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、函数 与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)

（1）解法1：∵抛物线C2:y2?4x的焦点坐标为(1,0)， ?1分

∴点F2的坐标为(1,0).

∴椭圆C1的左焦点F1的坐标为F1(?1,0)，抛物线C2的准线方程为x??1. 设点P的坐标为(x1,y1)，由抛物线的定义可知PF2?x1?1,

∵PF52?3,（数学驿站 www.maths168.com） ∴x?521?13，解得x1?3.

由y2821?4x1?3，且y1?0,得y1?36. ∴点P的坐标为??2?3,236???. :x2y2 在椭圆C1a2?b2?1(a?b?0)中，c?1.

2a?|PF1|?|PF2|?(23?1)2?(236?0)2?(223?1)2?(36?0)2?4. ∴a?2,b?a2?c2?3. x2y2 ∴椭圆C1的方程为4?3?1. 解法2：∵抛物线C22:y?4x的焦点坐标为(1,0)， ∴点F2的坐标为(1,0).

∴ 抛物线C2的准线方程为x??1.

设点P的坐标为(x1,y1)，由抛物线的定义可知PF2?x1?1, ∵PF52?3, 第 14 页 共 18 页

?3分 ?6分 ?1分

52，解得x1?. 332826. 由y1?4x1?，且y1?0得y1?33226). ?3分 ∴点P的坐标为(, ∴x1?1?33:x2y2 在椭圆C1a2?b2?1(a?b?0)中，c?1.

?? 由?c?1,?a2?b2?c2,解得a?2,b?3. ??424?9a2?9b2?1. ∴椭圆Cx2y21的方程为4?3?1. （2）证法1: 设点T的坐标为(x0,y0),圆C3的半径为r， ∵ 圆C3与y轴交于M,N两点，且|MN|?4, ∴ |MN|?2r2?x20?4. ∴r?4?x20. ∴圆C?x223的方程为(x0)2?(y?y0)?4?x0.

??? ∵ 点T是抛物线C2:y2?4x上的动点,

∴ y20?4x0(x0?0).

∴x10?4y20. 把x?14y2整理得:(1?x22200代入??? 消去x02)y0?2yy0?(x?y?4)?0.???? 方程????对任意实数y0恒成立，

??1?x

2?0, ∴?

??2y?0,

??x2?y2?4?0.?

第 15 页 共 18 页

?6分 ?8分

10分

?

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