多维随机变量及其分布(4)

?fx(x)?12??12?(x??1)22?12e即知：X服从

2于N(?1,?1结果表明：

)，同理：Y服从于N(?2,?2)

21（1）二维正态分布N(?1,?2,?2?,?)，其边

22缘分布都是一维正态分布

N(?1,?1)和

2N(?2,?2)。而反之不然。

（2）二维R.V.边缘分布是由联合分布唯一确定。

（见第一版习题3.1）

例4： （第一版 书上例3.4） 设(X,Y)在圆

222

域D={(x,y): x+y? r}(r > 0)上服从均匀分布，其联合概率密度为

1222x?y?r?r f(x,y)= 其他 0?2求(1)P{8

(2)(X,Y)的边缘概率密度函数fX(x) ,fY(y)。

§3.3 条件分布

由条件概率引出条件概率分布的概念。

定义1 设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j，若P{Y?y}?0，则称

j

P{X?x,Y?y}pijij P{X?x/Y?y}??ijP{Y?y}pj?j

例1， P77，一射手进行射击，击中目标的概率为p(0

r222

r2

解：

定义2 （不严格），设(X,Y)的概率密度为

(x/y)为在条件Y=y下X的条f(x,y) ，记fX/Y件概率密度，则

f(x,y)

f(x,y)(x/y)? f

X/Yf(y)Y

P79 求条件边缘分布和密度公式的推导过程。 公式3.4和3.5.

例2 P79，

例3 P80，

§3.4 随机变量的独立性

1．概念：

定义3.5 设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),X,Y的边缘分布函数分别为FX(x), FY(y)。

若对任意的实数x,y，均有 F(x,y)=FX(x)?FY(y) (3.30)

即 P{X?x,Y?y}=P{X?x}?P{Y?y} 则称X,Y相互独立。

例1． 电子仪器由两个部件构成，以X和Y分

别表示两个部件的寿命（单位千小时）。已知X和Y的联合分布函数为：

?1?eF(x,y)????0.5x?e?0.5y?e?0.5(x?y)0x?0,y?0其他,

(1) 问X与Y是否独立？

解：独立。

因为：

(1?e?0.5x)(1?e?0.5y)?1?e?0.5x?e?0.5y?e?0.5(x?y)

2．判断两个随机变量是否独立的定理

定理3.1 二维随机变量(X,Y)的两个分量X,Y相互独立的充要条件是：对任意的实数x1

P{x1

’

定理3.1 二维随机变量(X,Y)的两个分量X,Y相互独立的充要条件是：对任意的实数x,y,均有

P{X>x,Y>y}=P{X>x}P{Y>y}

定理3.2 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律，边缘分布律分别为pij, pi. ,p.j, i,j=1,2,…,则 X,Y相互独立的充要条件是：对任意的i,j均有

pij=pi.p.j

即 P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}?P{Y=yj}

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