多维随机变量及其分布

第三章 多维随机变量及其分布

随机向量的定义：

随机试验的样本空间为S={?}，若随机变量X1(?),X2(?),…,Xn(?)定义在S上，则称（X1(?),X2(?),…,Xn(?)）为n维随机变量（向量）。简记为（X1,X2,…,Xn）。

二维随机向量（X,Y），它可看作平面上的随机点。

对（X,Y）研究的问题： 1．（X,Y）视为平面上的随机点。研究其概率分布——联合分布率、联合分布函数、联合概率密度；Joint

2．分别研究各个分量X,Y的概率分布——边缘（际）分布律、边缘分布函数、边缘概率密度；

marginal

3．X与Y的相互关系；

4．（X,Y）函数的分布。

§ 3.1 二维随机变量的分布

一．离散型随机变量 1．联合分布律

定义3.1 若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。

设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(xi,yj), i，j=1,2…,取这些值的概率为

pij=P{(X,Y)=(xi,yi)}=p{X=xi,Y=yi}i,j=1,2,… ——(3.1) 称 (3.1)式为(X,Y)的联合分布律。

(X,Y)的联合分布律可以用表格的形式表示如下：

Y y1 y2 … yj … X的边缘分 X 布率 X1 p11 p12 p1j … P1?. X2 p21 p22 p2j … P2? ? ? ? ? ? xi pi1 pi2 pij … Pi? ? ? ? ? ? Y的边缘分P?1 p?2 ? p?j … 1 布率 性质：

(1) pij ? 0，i, j=1,2,…

p? (2) ij=1

i,j

2．边缘分布律

设二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律为

pij= P{X=xi,Y=yi} i, j=1,2,… 分量X和Y的分布律分别为

pi.=P{X=xi} i=1,2,… 满足①pi.?0②? pi.=1

p.j= p{Y=yi}j=1,2,… ①p.j?0②? p.j=1

我们称pi.和p.j分别为(X,Y)关于X和Y的边缘分布律，简称为(X,Y)的边缘分布律。

二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律与边缘分布率有如下关系：

pi.=P{X=xi}=P{X=xi, S}=P{X=xi,?(Y=yj)}

j=?P{X=xi,Y=yj}=?pij (3.4)

jj同理可得

p.j =?pij (3.5)

i

例1:一整数X随机地在1，2，3三个整数中任取一值，另一个整数Y随机地在1到X中取一值。试求（X,Y）的联合分布率及边缘分布率。

解：

P?X?i,Y?j??P?Y?j/X?i?P?X?i?11 ??i3i?1,2,3,j?i, Y 1 2 3 X的边缘 X 分布率 1 1/3 0 0 1/3 p1? 2 1/6 1/6 0 1/3 p2? 3 1/9 1/9 1/9 1/3 p3? Y的边缘11/18 5/18 1/9 1 分布率 P?1 p?2 p?3

二．联合分布函数与边缘分布函数

1．定义3.2 设（X,Y)是二维随机变量，对任意的实数x,y令

F(x,y)=P{X?x,Y?y} (3.7) 则称 F(x,y)为（X,Y）的联合分布函数。

2．F(x,y)的性质：

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