多维随机变量及其分布(2)

性质1 对于x和y,F(x,y)都是单调不减函数，即若x1

若y1

性质2 对于任意的实数x,y,均有 0?F(x,y)?1, LimF(x,y)=0,

x??? LimF(x,y)=0, LimF(x,y)=1。

y???x,y???

性质3 对于x和y,F(x,y)都是右连续的，即对任意的实数x0和y0，均有 LimF(x,y)=F(x0,y),

x?x?0 LimF(x,y)=F(x,y0)。

y?y0?

性质4 若x1

（X,Y）落于下图阴影部分的矩形区域内的概

率为：

F(x2,,y2)?F(x2,y1)?F(x1,y2)+F(x1,y1) =P{x1

例 2 P71, 照书上讲。

3．边缘分布

(X,Y)的分量X，Y的分布函数分别为FX(x)

和FY(y)，称它们为X，Y的边缘分布函数。它们与F(x,y)的关系如下：

FX(x)=P{X?x}=P{X?x,-?

例2：(第一版)设

(X,Y)~F(x,y)?1?e?e?e??0??x2?2y2?x2?2y2x?0,y?0其它,

求：(1) (X,Y)的边缘分布函数；

(2)P(1?x?2,-1?y?3)。

(3)P(X>2,Y>3)=1- P(X?2,Y?3)?

三．连续性随机变量 1．联合概率密度

定义3.3 设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),若存在非负函数f(x,y),使得对于任意的实数x,y均有

F(x,y)=??????f(u,v)dvdu （3.12) 则称(X,Y)为连续型随机变量，并称f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度，简称为概率密度。

2．f(x,y)有如下性质：

性质1 f(x,y)?0

yx性质2 ??????f(x,y)dxdy=1 性质3 若f(x,y)的连续点(x,y)处，有

??

?F(x,y)?y?x??2??xy????f(u,v)dvdu?\xy?f(x,y)

性质4 若随机点(X,Y)落于平面上相当任意的区域D内记为(X,Y)?D,则

f(x,y)dxdy?? P{(X,Y)?D}= （3.16）

D注：在f(x,y)非0域与D公共部分积分有非0

值。

P71例2

例3：（第一版书上例3.3） 设(X,Y)的联合概率密度为

其他 f(x,y)=0

求(1)(X,Y) 的联合分布函数F(x,y); (2) P{X>1}

(3)P{(X,Y)? D}，其中D={(x,y):x+y?1};

2

(4)P{X?Y}

解：注意f(x,y)的非零域为H

（1）F(x,y)???f(x,y)dxdy，当

xy??????(x?y)x?0,y?0e

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