多维随机变量及其分布(3)

x?0,y?0

时，

F(x,y)??edx?edy

x?xy?y00 ?(1?e)(1?e)

其他F(x,y)?0

?xy?

?(1?e)(1?e)x?0,y?0F(x,y)??0其他??x?y

（2）P{X>1}=1- P{X?1}=1-Fx(1)=1- F(1,+?)

?1 =e

(3) P{(X,Y)?D}=??f(x,y)dxdy

1?x1?x?y?x?y=??edxdy =?edx?edy 00G21=?(1?e?(1?x))e?xdx 01?x?1=?(e?e)dx 0=1?2e?1

D

2

(4) P{X?Y}=?? = ??eG3???x?yx2?yf(x,y)dxdy

???xx2?y00dxdy =?edx?edy

???x2?x =?edx??e0014???xdx

???1??x????????2???1?2??2??22=1?e

?[?01e?1?2????2??1???x???2??1?2???2?2]

?1注e?1?2????2??2122是N(?,())的概率密度，

22?1???x???2??1?2???2?21即e?1?2????2?02=

1?e?1???x???2?2

P(x?x)?1?P(x?x)?1??(0x??0?) 可

知

?0???1??????22????1??()P(x?0)?1???2?2???2????2??? P{X?Y}=1-e??1?????.

?2???2

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3．边缘概率密度

设二维连续型随机变量(X,Y) 联合分布函数、联合概率密度分别为F(x,y),f(x,y),分量X,Y的边缘分布函数分别为FX(x)、FY(y)。利用边缘分布函数与联合分布函数的关系及(3.16)式，可得

x?? FX(x)=F(x,+?)=??????f(u,y)dydu (3.17)

? FY(y)=F(+?,y)= ???

记：fX(x)=?????y???f(x,v)dx?dv (3.18)

????f(x,y)dy 为X的边缘概率密度

函数；fY(y)= ???f(x,y)dx 为Y的边缘概率密度函数。

例2： P74

例3： P75 即下面的例5（第一版）,若二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

f(x,y)=

??12??1?21??2e1?1?2?1???1??2???????x??1??212?2?x??y????1122??y???22

其中?，?，?，?，?均为常数，且?1?0,?2?0,?1???1,则称(X,Y)服从参数为

22的二维正态分布,通常记为

(X,Y)服从于N??,?,?,?,??。

求：(X,Y)的边缘概率密度 fX(x) ,fY(y)。

1212222112?，?，?，?，???解：

fx(x)????f(x,y)dy令

y??2?2?u：dy??d?且

2f(x,y)中e的指数部分改写为：

x??1y??2(y??2)?1?(x??1)??2????2?22?1?22(1??)??1?2?22?x??121?2(x??1)??(u??)?(1??)?2?2?12(1??)??1?2

x??1?1(x??1)1?????u???2?2??1?2?12(1??)???22

?fx(x)????2???121121??2e1x??11(x??1)2?(u??)?2?12?122(1??)1

(u??x??1??1e2??1(x??1)???2?2?????2?1??e?2e?12(1??2))2

)2(u??x??1???1222?12(1??2)是N(?x???,?1?? 2?1???)的积分函数，? 积分=1。

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