第十一章三角形专题 - 图文(2)

答案：1. 思路点拨：两个三角形中，三角对应相等不能证明三角形全等. 解析：A的判定方法为ASA或AAS；B的判定方法为SAS；C的判定方法为AAS；要判定三角形全等必须有一个元素是边，所以D不能判定.故选D.. 2.思路点拨：增加条件判定三角形全等时，题中已有一条公共边这一条件，答案不唯一. 解析：填AB=DC，可利用SSS；填∠ACB=∠DBC，可利用SAS. 3. 考点：利用三角形全等的性质证明线段或角相等. 思路点拨：本题作出M到AB的距离，可以利用证三角形全等求距离.更简单的是利用角平分线上的点到角两边距离相等. 解法一：过M作MD⊥AB于D，∴∠MDA=∠C=90° ∵AM平分∠CAB，∴∠CAM=∠DAM ∵AM=AM， ∴△AMC≌△AMD(AAS)， ∴MD=CM=20cm 解法二：过M作MD⊥AB于D ∵∠C=90°， ∴MC⊥AC ∵AM平分∠CAB， ∴MD=CM=20cm 考点四、等腰三角形 1．定义： 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 2．性质： (1)具有三角形的一切性质. (2)两底角相等(等边对等角) (3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一) (4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°. 3．判定： (1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形； (3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形. 要点诠释： (1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念； (2)等边三角形是特殊的等腰三角形. 7．（1）（2010湖北黄石） 如图，等腰三角形ABC中，已知AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂

直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为_____________. 思路点拨：等腰三角形的性质 答案：45° （2）等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于( ) A.顶角的2倍 B. 顶角的一半 C. 顶角 D. 底角的一半 思路点拨：本题适用于任何一种等腰三角形.总结规律，等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于顶角的一半. 解析：如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D， 所以∠ABC=∠C，∠BDC=90°，所以∠DBC=90°-∠C=90°- 答案：B. (180-∠A)= ∠A， 8．△ABC等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，不添加辅助线，请你写出尽可能多的结论. 思路点拨：本题是先猜想再验证的探索性题型，关键是掌握等边三角形及三线合一的性质. 答案：如：①DB=DE；②BD⊥AC；③∠DBC=∠DEC=30°；④△ABD≌△CBD； ⑤∠CDE=30°；⑥BD平分∠ABC等. 总结升华：等腰三角形是特殊的三角形，具有对称性，边、角之间的联系较多；三线合一的性质在解题时应用广泛，但经常被忽略，应注意灵活运用. 【变式1】若一个三角形的两个内角分别为50°、80°，则这个三角形是_________三角形.

【变式2】已知等腰△ABC中，∠ABC=∠ACB=2∠A，且BD⊥AC，垂足为D，求∠DBC的度数. 答案：1. 考点：等腰三角形的判定. 思路点拨：会根据三角形内角的度数判断三角形的形状. 解析：三角形的两个内角分别为50°、80°，则另一个内角为50°，这个三角形有两个角相等，所以是等腰三角形 . 总结升华：三角形是按边和角进行分类的，会根据题意判断三角形的形状. 2. 思路点拨：本题利用三角形内角和求出∠C，从而得出结论. 解：∵等腰△ABC中，∠ABC=∠ACB=2∠A，∠ABC+∠C+∠A=180° ∴∠C=72°，∵BD⊥AC，∴∠DBC+∠C=90°，∴∠DBC=90°-72°= 考点五、直角三角形 1．定义： 有一个角是直角的三角形叫做直角三角形. 2．性质： (1)直角三角形中两锐角互余； (2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半. (3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°. (4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方. (5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. (6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半； (7)SRt△ABC=ch=ab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高. 3．判定： (1)两内角互余的三角形是直角三角形； (2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，则这个三角形是直角三角形. (3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边. 9．如果线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比可以是( ) A. 1：2：4 B. 1：3：5 C. 3：4：7 D. 5：12：13 考点：考查勾股定理的逆定理. 思路点拨：常见的一些勾股数如：3、4、5；5、12、13；7、24、25及倍数等，应熟练掌

握. 解析：D中设三边的比中每一份为k，则(5k)2+(12k)2=(13k) 2 ，所以该三角形是直角三角形.其它答案都不满足，故选D. （2）将一张矩形纸片则折痕的长为( ) C. D. 如图所示折叠，使顶点落在点.已知，， A. B. 考点：勾股定理和直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半. 思路点拨：考查学生了解折叠前后图形的变化，找出对应相等的量，运用勾股定理解答. 解析：由折叠可知，∠CED=∠C′ED =30°，因为在矩形ABCD中，∠C等于90°，CD=AB=2， 所以在Rt△DCE中，DE=2CD=4.故选C. 总结升华：直角三角形是常见的几何图形，在习题中比较多的利用数形结合解决相应的问题.常用的是两锐角互余，三边满足勾股定理. 【变式1】下列条件能确定△ABC是直角三角形的条件有( ) (1)∠A+∠B=∠C；(2)∠A:∠B:∠C=1:2:3；(3)∠A=90°-∠B；(4)∠A=∠B=∠C. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式2】如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC=4cm，BC=8cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为( ) A. B. C. D.5 答案：1. 考点：直角三角形三个内角之间关系. 解析:三角形中有一个角是90°，就是直角三角形.题中四个关系式都可以解得△ABC中∠C

=90°.故选D. 2. 考点：勾股定理和线段垂直平分线定理. 解析：由折叠可知，AD=BD，DE⊥AB， ∴BE=AB 设BD为x，则CD=8-x ∵∠C=90°，AC=4，BC=8，∴AC2+BC2=AB2 ∴AB2=42+82=80，∴AB=，∴BE= 在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2 ，∴42+(8-x)2=x2，解得x=5 在Rt△BDE中，BE2+DE2=BD2，即()2+DE2=52，∴DE= 故选B. 考点六、线段垂直平分线和角平分线 1．线段垂直平分线： 经过线段的中点并且垂直这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 线段垂直平分线的定理： (1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. (2)与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合. 2．角平分线的性质： (1)角的平分线上的点到角的两边的距离相等； (2)到角的两边的距离相等的点在角的平分线上； (3)角的平分线可以看做是到角的两边距离相等的所有点的集合. 考点7、规律方法指导 1．数形结合思想 本单元中所学的三角形性质、角平分线性质、全等三角形的性质、直角三角形中的勾股定理等，都是在结合图形的基础上，求线段或角的度数，证明线段或角相等.在几何学习中，应会利用几何图形解决实际问题. 2．分类讨论思想 在没给图形的前提下，画三角形或三角形一边上的高、三角形的垂心、外心时要考虑分类：三种情况，锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. 3. 化归与转化思想 在解决利用三角形的基础知识计算、证明问题时，通过做辅助线、利用所学知识进行准确推理等转化手段，

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