高三复习高中数学三角函数基础过关习题（有答案）(4)

可． 解答： （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵ ∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA﹣cosBsinA﹣cosCsinA ∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA =2sinAsin（A+B）+sin（A+C） =2sinA…（3分） sinC+sinB=2sinA…（5分） 所以b+c=2a…（6分） （Ⅱ）由题意知：由题意知：因为，解得：，A∈（0，π），所以，…（8分） …（9分） 由余弦定理知：所以b+c﹣a=bc因为b+c=2a，所以即：b+c﹣2bc=0所以b=c…（11分） 又22222…（10分） ， ，所以△ABC为等边三角形．…（12分） 点评： 本题考查三角函数的化简求值，两角和与差的三角函数，正弦定理与余弦定理的应用，考查计算能力． 24．（2012?南昌模拟）已知函数（1）若f（α）=5，求tanα的值；

（2）设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且

，求f（x）在（0，B]上的值域． ．

考点： 正弦函数的定义域和值域；三角函数的恒等变换及化简求值；解三角形． 专题： 计算题． 分析： （1）把f（α）=5代入整理可得，，利用二倍角公式化简可求tanα （2）由，利用余弦定理可得，，即，再由正弦定理化简可求B，对函数化简可得f（x）=2sin（2x+解答： 解：（1）由f（α）=5，得∴∴即∴（2）由．（5分） ，即， ， ． ）+4，由可求． ． ，

得则， ， 又∵B为三角形内角， ∴又由，则， ，（8分） ==（10分） 故5≤f（x）≤6， 即值域是[5，6]．（12分） 点评： 本题主要考查了利用正弦及余弦定理解三角形，辅助角公式的应用，及正弦函数性质等知识的简单综合的运用，属于中档试题． 25．（2012?河北区一模）已知函数（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

成等差数列，且

=9，

．

求a的值． 考点： 正弦函数的单调性；数列与三角函数的综合；三角函数中的恒等变换应用． 专题： 计算题． 分析： （I）利用两角和差的三角公式化简f（x）的解析式，得到sin（2x+），由2kπ﹣≤（2x+）≤2kπ+，解出x的范围，即得f（x）的单调递增区间． （II）在△ABC中，由解答： 解：（I）f（x）=令 2kπ﹣≤（2x+）≤2kπ+，可得sin（2A+=，可得 kπ﹣，kπ+） 值，可求得A，用余弦定理求得a 值． sin2x+cos2x=sin（2x+≤x≤kπ+，k∈z． ）． 即f（x）的单调递增区间为[kπ﹣（II）在△ABC中，由∴＜2A+= 或，∴A=]，k∈z． ）=，∵＜2A+＜2π+， ，可得sin（2A+ （或A=0 舍去）． ∵b，a，c成等差数列可得 2b=a+c，∵222=9，∴bccosA=9． 2由余弦定理可得 a=b+c﹣2bc?cosA=（b+c）﹣3bc=18， ∴a=3． 点评： 本题考查等差数列的性质，正弦函数的单调性，两角和差的三角公式、余弦定理的应用，化简函数的解析式是解题的突破口． 26．（2012?韶关一模）已知函数f（x）=2cosωx+2

2

sinωxcosωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π．

（1）求f（

）的值；

（2）求函数f（x）的单调递增区间及其图象的对称轴方程． 考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值；三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性． 分析： （1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2sin（2ωx+），由此求得f（）的值． （2）由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求出函数f（x）的单调递增区间．由 2x+=kπ+求得 x的值，从而得到f（x）图象的对称轴方程． 解答： 解：（1）函数f（x）=2cosωx+2因为f（x）最小正周期为π，所以所以f（x）=2sin（2x+（2）由2kπ﹣≤2x+），f（≤2kπ+2sinωxcosωx﹣1=cos2ωx+=π，解得ω=1， ）=2sin=1． ≤x≤kπ+sin2ωx=2sin（2ωx+）， ，k∈z，可得 kπ﹣，kπ+，k∈z， 所以，函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣由 2x+=kπ+可得 x=kπ+，k∈z． ]，k∈z． 所以，f（x）图象的对称轴方程为x=kπ+，k∈z．…（12分） 点评： 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性，属于中档题． 27．（2012?杭州一模）已知函数f（x）=

．

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期、对称轴方程及单调区间； （Ⅱ）现保持纵坐标不变，把f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍，得到新的函数h（x）； （ⅰ）求h（x）的解析式； （ⅱ）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足

，h（A）=

，c=2，试求△ABC的面积．

考点： 正弦定理的应用；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 分析： （I）利用二倍角的三角函数公式降次，再用辅助角公式合并得f（x）=sin（2x+）﹣，再结合函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质的有关公式，可得f（x）的最小正周期、对称轴方程及单调区间； （II）（i）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的公式，不难得到h（x）的解析式为h（x）=sin（x+﹣； （ii）根据h（A）的值结合三角形内角的范围和特殊三角函数的值，求得A=，再由结合正弦定）理，讨论得三角形是等腰三角形或是直角三角形，最后在两种情况下分别解此三角形，再结合面积公式可求出△ABC的面积．

解答： 解：（I）∵f（x）=∴f（x）=sin（2x+令2x+令﹣==sin2x﹣=π． +kπ，（k∈Z） ，+kπ]，（k∈Z） =sin2xcos+cos2xsin﹣， ）﹣，f（x）的最小正周期为T=+kπ，得x=≤+kπ，k∈Z，所以函数图象的对称轴方程为：x=+kπ≤x≤+2kπ≤2x++2kπ，解之得﹣+kπ，+kπ，所以函数的单调增区间为[﹣同理可得，函数的单调减区间为[+kπ]，（k∈Z） （II）∵保持纵坐标不变，把f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍，得到新的函数h（x） ∴h（x）=f（x）=sin（x+）﹣， ）﹣； ， （i）h（x）的解析式为h（x）=sin（x+（ii）∵h（A）=sin（A+∴sin（A+∵=）= ）﹣=，结合A∈（0，π）得A=∴sinAcosA=sinBcosB，可得sin2A=sin2B，即A=B或A+B=①当A=B时，因为c=2，A=因此，△ABC的面积S=②当A+B=∴a=csinA=2×2 ，所以△ABC是边长为2的等边三角形， ． ，所以△ABC是斜边为2的直角三角形 ×2=时，因为c=2，A==，b=ccosA=2×=1 ×1=或． ． 因此，△ABC的面积S=×综上所述，得△ABC的面积是点评： 本题综合了三角恒变换、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、利用正余弦定理解三角形等知识，对三角函数的知识进行了综合考查，是一道中档题． 28．（2011?辽宁）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcosA=（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若c=b+a，求B． 考点： 解三角形． 专题： 计算题． 分析： （Ⅰ）先由正弦定理把题设等式中边转化成角的正弦，化简整理求得sinB和sinA的关系式，进而求得a和b的关系． （Ⅱ）把题设等式代入余弦定理中求得cosB的表达式，把（Ⅰ）中a和b的关系代入求得cosB的值，进而求得B． 2

a．

222

22解答： 解：（Ⅰ）由正弦定理得，sinAsinB+sinBcosA=22即sinB（sinA+cosA）=sinA sinA， ∴sinB=sinA，=2 2（Ⅱ）由余弦定理和C=b+222a，得cosB=）a， 22 由（Ⅰ）知b=2a，故c=（2+2可得cosB=，又cosB＞0，故cosB=所以B=45° 点评： 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的过程主要是利用了正弦定理和余弦定理对边角问题进行了互化． 29．（2011?合肥二模）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平移位后，得到的图象与函数g（x）=sin2x的图象重合． （1）写出函数y=f（x）的图象的一条对称轴方程；

（2）若A为三角形的内角，且f（A）=?，求g（）的值．

考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性． 专题： 计算题． 分析： （1）由题意可知将函数g（x）=sin2x的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍即可得的个单

到f（x）的图象可得f（x）=sin（x﹣（2）由f（A）=可得，sin（A﹣ 从而可求得cos（A﹣）=而），令可求答案． =可得=结合已知0＜A＜π，且0＜sin（A﹣=解答： 解：（1）由题意可知将函数g（x）=sin2x的图象向右平移再将横坐标伸长到原来的2倍即可得的到f（x）的图象， ∴f（x）=sin（x﹣由∴） 得 = = 个单位， 代入可求答案． （2）由f（A）=可得，sin（A﹣∵0＜A＜π，且0＜sin（A﹣

∴cos（A﹣）= ==． 点评： 本题考查了函数的平移及周期变换，三角函数的性质的应用，及利用拆角的技巧求解三角函数值等知识的综合运用，考查了推理运算的能力．属于中档试题． 30．（2011?河池模拟）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量m=（sinB，1﹣cosB）与向量n=（2，0）的夹角为 考点： 正弦定理的应用；三角函数的恒等变换及化简求值；三角函数的最值． 专题： 计算题． 分析： 利用两个向量的夹角公式求出角B的大小，利用正弦定理把化为sin（，求的最大值．

+A），由A的范围求出sin（+A） sin（+A）的范围． =2sin， 的范围，进而得到解答： 解：∵=（sinB，1﹣cosB）?（2，0）=2sinB，||=||=2，∴cos＜＞=cos==cos，∴=，B=． ∴A+C=，sinB=． =cosA）=＜sin（，（sinA+sinC）=+A）． ＜sin（+A）≤1， （sinA+sin（﹣A） 由正弦定理得 =（sinA+∵0＜A＜ 故点评： ，∴＜A+的最大值为 ． 化为sin（+A） 本题考查正弦定理、两个向量的数量积、两角和差的三角公式的应用，把是解题的关键．

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