2018年中考数学真题分类汇编第三期专题31点直线与圆的位置关系试(6)

(1)过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB； (2)连接MD，求证：MD＝NB．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】【分析】（1）如图，连接ON，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得AD＝CD＝DB，从而可得∠DCB＝∠DBC，再由∠DCB＝∠ONC，可推导得出ON∥AB，再结合NE是⊙O的切线，ON//AB，继而可得到结论；

（2）如图，由（1）可知ON∥AB，继而可得N为BC中点，根据圆周角定理可知∠CMD＝90°，继而可得MD∥CB，再由D是AB的中点，根据得到MD＝NB．

【详解】（1）如图，连接ON，

∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴AD＝CD＝DB， ∴∠DCB＝∠DBC，

又∵OC=ON，∴∠DCB＝∠ONC， ∴∠ONC＝∠DBC， ∴ON∥AB，

∵NE是⊙O的切线，ON是⊙O的半径， ∴∠ONE＝90°，

∴∠NEB＝90°，即NE⊥AB；

（2）如图所示，由（1）可知ON∥AB， ∵OC＝OD，∴ ∴CN＝NB＝CB，

又∵CD是⊙O的直径，∴∠CMD=90°， ∵∠ACB=90°，

∴∠CMD+∠ACB=180°，∴MD//BC， 又∵D是AB的中点，∴MD＝CB， ∴MD＝NB．

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【点睛】本题考查了切线的性质、三角形中位线、圆周角定理等，正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键.

20. （2018·湖北咸宁·10分）如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AB=25，BC=

，求DE的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）DE=．

【解析】【分析】（1）直接利用圆周角定理以及结合切线的判定方法得出DE是⊙O的切线；

（2）首先过点C作CG⊥DE，垂足为G，则四边形ODGC为正方形，得出tan∠CEG=tan∠ACB，

【详解】（1）如图，连接OD，

∵AC是⊙O的直径， ∴∠ABC=90°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=45°， ∴∠AOD=90°， ∵DE∥AC，

∴∠ODE=∠AOD=90°， ∴DE是⊙O的切线； （2）在Rt△ABC中，AB=2∴AC=∴OD=，

=5，

，BC=

，

，即可求出答案．

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过点C作CG⊥DE，垂足为G， 则四边形ODGC为正方形， ∴DG=CG=OD=， ∵DE∥AC， ∴∠CEG=∠ACB， ∴tan∠CEG=tan∠ACB， ∴

，即

，

解得：GE=， ∴DE=DG+GE=．

【点睛】本题考查了切线的判定、正方形的判定与性质、解直角三角形的应用等，正确添加辅助线、熟练掌握和应用切线的判定、三角函数的应用等是解题的关键.

21.（2018·辽宁大连·10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC． （1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．

解：（1）如图，连接BD．∵∠BAD=90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°．

∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°．

∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE． ∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；

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（2）∵DE∥AC．

∵∠BDE=90°，∴∠BFC=90°，∴CB=AB=8，AF=CF=AC． ∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°，∴∠CDE=∠CBD． ∵∠DCE=∠BCD=90°，∴△BCD∽△DCE，∴BD=

=4

，∴

，∴CF=

，∴AC=2AF=

．

，∴

，∴CD=4．在Rt△BCD中，

同理：△CFD∽△BCD，∴

22.（2018·吉林长春·7分）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D．已知⊙O的半径为6，∠C=40°． （1）求∠B的度数． （2）求

的长．（结果保留π）

【分析】（1）根据切线的性质求出∠A=90°，根据三角形内角和定理求出即可； （2）根据圆周角定理求出∠AOD，根据弧长公式求出即可． 【解答】解：（1）∵AC切⊙O于点A， ∠BAC=90°， ∵∠C=40°， ∴∠B=50°；

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（2）连接OD，∵∠B=50°， ∴∠AOD=2∠B=100°， ∴

的长为

=

π．

【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、弧长公式等知识点能熟练地运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．

23.（2018·江苏镇江·8分）如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点． （1）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；

（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围

＜AP＜

或AP=5 ．

【解答】解：（1）如图2所示，连接PF， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=设AP=x，则DP=10﹣x，PF=x， ∵⊙P与边CD相切于点F，∴PF⊥CD， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，

∵AB⊥AC，∴AC⊥CD，∴AC∥PF，∴△DPF∽△DAC， ∴

，∴

，∴x=

，AP=

； =8，

（2）当⊙P与BC相切时，设切点为G，如图3，

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S?ABCD==10PG，PG=，

＜AP＜

，即此时⊙P与平行四边形ABCD

①当⊙P与边AD.CD分别有两个公共点时，的边的公共点的个数为4，

②⊙P过点A.C.D三点．，如图4，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4， 此时AP=5，

综上所述，AP的值的取值范围是：＜AP＜

或AP=5．

故答案为：

＜AP＜

或AP=5．

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