（1）证明：∵PA.PB是⊙O的两条切线，A.B是切点，∴PA=PB，且PO平分∠BPA，∴PO⊥AB．
∵BC是直径，∴∠CAB=90°，∴AC⊥AB，∴AC∥PO； （2）解：连结OA.DF，如图，
∵PA.PB是⊙O的两条切线，A.B是切点，∴∠OAQ=∠PBQ=90°． 在Rt△OAQ中，OA=OC=3，∴OQ=5． 由QA+OA=OQ，得QA=4．
在Rt△PBQ中，PA=PB，QB=OQ+OB=8，由QB+PB=PQ，得8+PB=（PB+4），解得PB=6，∴PA=PB=6．
∵OP⊥AB，∴BF=AF=AB．
又∵D为PB的中点，∴DF∥AP，DF=PA=3，∴△DFE∽△QEA，∴FE=3t，则AF=AE+FE=7t，∴BE=BF+FE=AF+FE=7t+3t=10t，∴
=
=
=，设AE=4t，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=．
15. （2018?广安?9分）如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D． （1）求证：∠PCA=∠ABC．
（2）过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，若cos∠P=，CF=10，求BE的长
21
【分析】（1）连接半径OC，根据切线的性质得：OC⊥PC，由圆周角定理得：∠ACB=90°，所以∠PCA=∠OCB，再由同圆的半径相等可得：∠OCB=∠ABC，从而得结论； （2）本题介绍两种解法：
方法一：先证明∠CAF=∠ACF，则AF=CF=10，根据cos∠P=cos∠FAD=，可得AD=8，FD=6，得CD=CF+FD=16，设OC=r，OD=r﹣8，根据勾股定理列方程可得r的值，再由三角函数cos∠EAB=
，可得AE的长，从而计算BE的长；
方法二：根据平行线的性质得：OC⊥AE，∠P=∠EAO，由垂直的定义得：∠OCD=∠EAO=∠P，同理利用三角函数求得：CH=8，并设AO=5x，AH=4x，表示OH=3x，OC=3x﹣8，由OC=OA列式可得x的值，最后同理得结论．
【解答】证明：（1）连接OC，交AE于H， ∵PC是⊙O的切线， ∴OC⊥PC， ∴∠PCO=90°，
∴∠PCA+∠ACO=90°，（1分） ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°，（2分） ∴∠ACO+∠OCB=90°， ∴∠PCA=∠OCB，（3分） ∵OC=OB， ∴∠OCB=∠ABC， ∴∠PCA=∠ABC；（4分） （2）方法一：∵AE∥PC， ∴∠CAF=∠PCA， ∵AB⊥CG， ∴
，
∴∠ACF=∠ABC，（5分） ∵∠ABC=∠PCA，
22
∴∠CAF=∠ACF， ∴AF=CF=10，（6分） ∵AE∥PC， ∴∠P=∠FAD，
∴cos∠P=cos∠FAD=， 在Rt△AFD中，cos∠FAD=，AF=10，
∴AD=8，（7分） ∴FD=
=6，
∴CD=CF+FD=16，
在Rt△OCD中，设OC=r，OD=r﹣8， r2
=（r﹣8）2
+162
， r=20，
∴AB=2r=40，（8分） ∵AB是直径， ∴∠AEB=90°， 在Rt△AEB中，cos∠EAB=，AB=40，
∴AE=32， ∴BE=
=24．（9分）
方法二：∵AE∥PC，OC⊥PC， ∴OC⊥AE，∠P=∠EAO，（5分）， ∴∠EAO+∠COA=90°， ∵AB⊥CG，
∴∠OCD+∠COA=90°， ∴∠OCD=∠EAO=∠P，（6分） 在Rt△CFH中，cos∠HCF=，CF=10，
∴CH=8，（7分） 在Rt△OHA中，cos∠OAH=，设AO=5x，AH=4x，∴OH=3x，OC=3x+8， 由OC=OA得：3x+8=5x，x=4， ∴AO=20，
23
∴AB=40，（8分） 在Rt△ABE中，cos∠EAB=∴AE=32， ∴BE=
=24．（9分）
，AB=40，
【点评】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，连接OC构造直角三角形是解题的关键．
16. （2018?莱芜?10分）如图，已知A.B是⊙O上两点，△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD⊥AB交AB的延长线于D． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）E为
的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，若tan∠AFE=，BE=BG，EG=3
，
求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OC，如图，先证明∠OCB=∠CBD得到OC∥AD，再利用CD⊥AB得到OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）解：连接OE交AB于H，如图，利用垂径定理得到OE⊥AB，再利用圆周角定理得到∠ABE=∠AFE，在Rt△BEH中利用正切可设EH=3x，BH=4x，则BE=5x，所以BG=BE=5x，GH=x，接着在Rt△EHG中利用勾股定理得到x+（3x）=（3
2
2
），解方程得x=3，接下来设⊙O
2
2
2
2
的半径为r，然后在Rt△OHB中利用勾股定理得到方程（r﹣9）+12=r，最后解关于r的方程即可．
【解答】（1）证明：连接OC，如图， ∵BC平分∠OBD， ∴∠OBD=∠CBD， ∵OB=OC，
24
∴∠OBC=∠OCB， ∴∠OCB=∠CBD， ∴OC∥AD， 而CD⊥AB， ∴OC⊥CD， ∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接OE交AB于H，如图， ∵E为
的中点，
∴OE⊥AB， ∵∠ABE=∠AFE，
∴tan∠ABE=tan∠AFE=， ∴在Rt△BEH中，tan∠HBE=设EH=3x，BH=4x， ∴BE=5x， ∵BG=BE=5x， ∴GH=x，
在Rt△EHG中，x+（3x）=（3∴EH=9，BH=12，
设⊙O的半径为r，则OH=r﹣9， 在Rt△OHB中，（r﹣9）+12=r，解得r=即⊙O的半径为
．
2
2
2
2
2
=
），解得x=3，
2
，
【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理、垂径定理和解直角三角形．
19. （2018?陕西?10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC.BC相交于点M、N．
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