2018年中考数学真题分类汇编第三期专题31点直线与圆的位置关系试(2)

∴GH= 又∵GH∥AB

①

同理：①+②，得

∴∴CD=

【点评】本题是几何综合题，综合考察了圆周角定理、切线性质和三角形相似．解答时，注意根据条件构造相似三角形．

3. （2018·湖北江汉·8分）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM． （1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．

②

【分析】（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再根据斜边上的中线性质得MC=MG=ME，所以∠G=∠1，接着证明∠1+∠2=90°，从而得到∠OCM=90°，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断CM为⊙O的切线；

（2）先证明∠G=∠A，再证明∠EMC=∠4，则可判定△EFC∽△ECM，利用相似比先计算出CE，再计算出EF，然后计算ME﹣EF即可． 【解答】解：（1）CM与⊙O相切．理由如下： 连接OC，如图， ∵GD⊥AO于点D， ∴∠G+∠GBD=90°， ∵AB为直径，

6

∴∠ACB=90°， ∵M点为GE的中点， ∴MC=MG=ME， ∴∠G=∠1， ∵OB=OC， ∴∠B=∠2， ∴∠1+∠2=90°， ∴∠OCM=90°， ∴OC⊥CM， ∴CM为⊙O的切线；

（2）∵∠1+∠3+∠4=90°，∠5+∠3+∠4=90°， ∴∠1=∠5，

而∠1=∠G，∠5=∠A， ∴∠G=∠A， ∵∠4=2∠A， ∴∠4=2∠G，

而∠EMC=∠G+∠1=2∠G， ∴∠EMC=∠4， 而∠FEC=∠CEM， ∴△EFC∽△ECM， ∴

=

=

，即

=

=，

∴CE=4，EF=， ∴MF=ME﹣EF=6﹣=

．

4. （2018·湖北十堰·8分）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G． （1）求证：FG是⊙O的切线；

7

（2）若tanC=2，求的值．

【分析】（1）欲证明FG是⊙O的切线，只要证明OD⊥FG； （2）由△GDB∽△GAD，设BG=a．可得问题；

【解答】（1）证明：连接AD.OD．

=

=

=，推出DG=2a，AG=4a，由此即可解决

∵AB是直径，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC， ∵AC=AB， ∴CD=BD， ∵OA=OB， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴OD⊥DF， ∴FG是⊙O的切线． （2）解：∵tanC=∴BD：AD=1：2，

∵∠GDB+∠ODB=90°，∠ADO+∠ODB=90°， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∴∠GDB=∠GAD，

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=2，BD=CD，

∵∠G=∠G，

∴△GDB∽△GAD，设BG=a． ∴

=

=

=，

∴DG=2a，AG=4a， ∴BG：GA=1：4．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．

5.（2018·四川省攀枝花）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC.AC交于点D.E，过点D作DF⊥AC于点F．

（1）若⊙O的半径为3，∠CDF=15°，求阴影部分的面积； （2）求证：DF是⊙O的切线； （3）求证：∠EDF=∠DAC．

（1）解：

连接OE，过O作OM⊥AC于M，则∠AMO=90°． ∵DF⊥AC，∴∠DFC=90°．

∵∠FDC=15°，∴∠C=180°﹣90°﹣15°=75°．

∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=75°，∴∠BAC=180°﹣∠ABC∠C=30°，∴OM=OA=AM=

OM=

．

，∴∠BAC=∠AEO=30°，∴∠AOE=180°﹣30°﹣

﹣

=3π﹣

； =，

∵OA=OE，OM⊥AC，∴AE=2AM=3

30°=120°，∴阴影部分的面积S=S扇形AOE﹣S△AOE=

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（2）证明：连接OD，

∵AB=AC，OB=OD，∴∠ABC=∠C，∠ABC=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴AC∥OD． ∵DF⊥AC，∴DF⊥OD． ∵OD过O，∴DF是⊙O的切线；

（3）证明：连接BE，

∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴BE⊥AC． ∵DF⊥AC，∴BE∥DF，∴∠FDC=∠EBC． ∵∠EBC=∠DAC，∴∠FDC=∠DAC． ∵A.B.D.E四点共圆，∴∠DEF=∠ABC． ∵∠ABC=∠C，∴∠DEC=∠C．

∵DF⊥AC，∴∠EDF=∠FDC，∴∠EDF=∠DAC．

6.（2018·云南省昆明·8分）如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，∠AC平分∠BAD，连接BF． （1）求证：AD⊥ED；

（2）若CD=4，AF=2，求⊙O的半径．

【分析】（1）连接OC，如图，先证明OC∥AD，然后利用切线的性质得OC⊥DE，从而得到AD⊥ED； （2）OC交BF于H，如图，利用圆周角定理得到∠AFB=90°，再证明四边形CDFH为矩形得到FH=CD=4，∠CHF=90°，利用垂径定理得到BH=FH=4，然后利用勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径．

【解答】（1）证明：连接OC，如图，

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