第二章 - - Z变换(4)

8．序列的乘积 ： ? F[x(n)?y(n)]?[x(n)y(n)]e?j?nn??? ?1? ?X(ej?)ej?nd??y(n)e?j?n??n???2? ?1?j? ?X(e)d?y(n)e?j(???)n2???n???

1? ?X(ej?)Y(ej(???))d?2???

8．帕斯瓦尔定理 ：能量守恒定理，表明信号在时域的总能量等于其频域的总能量

?????? 1?2??|x(n)|?x(n)x(n)?x(n)[X(ej?)ej?nd?] 2???n???n???n??? ??1?1?j??j?nX(ej?)X?(ej?)d? ?X(e)x(n)ed????2???2?n???

1??|X(ej?)|2d?

2???

任何序列x(n)总能表示为一个共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列xo(n)之和 x(n)?xe(n)?xo(n)定义xe(n)和xo(n)：

** xe(n)?xe(?n),xo(n)??xo(?n)序列x(n)与xe(n)和xo(n)的关系

11

xe(n)?[x(n)?x?(?n)]xo(n)?[x(n)?x?(?n)] 22序列傅里叶变换的对称性

??????????????

16

序列实部的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭对称分量。 DTFT?Re?x?n????Xeej?(j序列虚部)的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭反对称分量。

DTFT?jIm?x?n????Xoej?

它们的傅里叶变换为： DTFT?xe?n???ReXej?DTFT?xo?n???jImXej?实序列x(n)的傅里叶变换X(ej?)具有共轭对称性；其实部(幅度)是?的偶函数，虚部(幅角)

????????????是? 的奇函数。

X(ej?) = X*(e-j?

)

x(ej?)+j x(ej?) = x(e-j?

ereier)- jxei(e-j?)

|X(ej?)| e

arg[X(ej?)] = |X(e-j?)| {e

-arg[X(e-j?)]

}

周期序列的傅里叶级数表示 周期序列定义： x?(n)?x?(n?kN),k为任意整数周期序列不是绝对可和的：在任何z值下，其Z变换都不收敛 周期序列的傅里叶级数表示 ???2 x?(n)?aej?Nknk（2.7.4）

k???ak: 傅里叶级数的系数 基频序列: e1(n) e(n)=ej2?2?Nne(n)?ejknk次谐波序列: en) 1kNk(离散傅里叶级数只有N个独立谐波分量: 因为复指数序列是k的周期函数

2?2?

en)?ejN(k?mN)n=ejNknk?mN(=ek(n)周期序列: 只取k＝0到N-1的N个独立谐波分量足以表示原信号

x?(n)?1N?1N?X?(k)ej2?Nkn（2.7.5） k?0

P45 1.18；1.19

17

2.7离散系统的系统函数、系统的频率响应

对线性移不变系统： y(n)?x(n)?h(n)Y(z)?X(z)?H(z) ?Y(z)线性移不变系统的系统函数 H ( z ) ? ? ZT ? (n ) 可见，H(z)与h(n)是一? ? hh ( n ) z ?nX(z)n???对z变换

例2.16 因果离散时间系统的差分方程y(n)-3y(n-1)+2y(n-2)= x(n)+2x(n-1)，求单位脉冲响应h(n)。

解：设初始状态为零，对差分方程进行z变换 Y(z)?3z?1Y(z)?2z?2Y(z)?X(z)?2z?1X(z) Y(z)1?2z?1z2?2zH(z)???2?1?2 X(z)1?3z?2zz?3z?2?3z4z展开为部分分式

H?z??? z?1z?2h(n)为因果序列。对H(z)取逆z变换，得 h(n)?(?3?4?2n)u(n) ?j?线性移不变系统的频率响应 H(e)?h(n)e?j?nn???

一、因果稳定系统 ?系统稳定的充要条件： h ( n ) ? ? 因果系统的充要条件：h(n)=0，n<0

n??? ??h(n)z?n?? z变换 H ( z ) ? h ( n ) z ? n 收敛域满足： n???n???

?????系统稳定要求收敛域包含单位圆|z|=1即H(ej?)存在且连续；

因果系统要求H(z)的收敛域一定包含∞点，即∞点不是极点，极点分布在某个圆的圆内，

收敛域在某个圆外。

因果稳定系统要求H(z)的收敛域为： r<|z|≤∞， 0

1?a2

H(z)?,0?a?1?1(1?az)(1?az)例2.17 已知

分析其因果性和稳定性. 解：H(z)的极点为z=a，z=a-1。

(1)收敛域a-1<|z|≤∞，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。

(2)收敛域0≤|z|＜a,对应的系统是非因果且不稳定系统。

(3)收敛域a<|z|

二、系统函数和差分方程的关系

一个线性移不变系统，可以用常系数线性差分方程来描述：

NM

aky?n?k??bkx?n?m? k?0m?0若系统起始状态为零，取z变换：

NM ?kakzY?z??bkz?mX?n? k?0m?0???? 18

MM ?k1?cmz?1akz Y(z)k?0?1H(z)??N?KmN X(z)bkz?m1?dnz?1 m?0n?1

零点 极点 由差分方程系数决定 但系统的确定还与收敛域的确定有关。

利用Z变换求解差分方程

N阶线性常系数差分方程

NM

aky(n?k)?brx(n?r) k?0r?0差分方程 输出序列

??????????

Z变换 逆Z变换 利用移位性质

代数方程 解方程 Z变换式

?ak?0N?mzY(z)?bzX(z) ?km?kr?0M

例2.18 已知一个线性时不变系统的差分方程y(n)= ay(n-1)+ x(n)，设初始条件y(-1)= 2，输入 x ( b n u ( n ) 时系统的输出序列。 n ) ?2a?X(z)?1解：Y (z)?az[Y(z)?y(?1)z]?X(z)?Y(z)?1?az?11

x(n)?bnu(n)?X(z)? 1?bz?1 2a1Y(z)?? 1?az?1(1?az?1)(1?bz?1)

n?1n?1a?b于是

y(n)?2an?1? a?b

三、系统的频率响应的意义

? j?He?h(n)e?j?n n???系统的频率响应(或频域表示法)主要是为了明确系统对输入频谱的处理作用。 设 x(n)?ej?n???n???? j??n?m?j?ny(n)?h(m)e?eh(m)e?j?m?ej?nHej? m???m???当输入为正弦序列时，输出为同频的正弦序列，其幅度受频率响应幅度|H(ej?)|加权，而输出的相位则为输入相位与系统相位响应之和。

??????? 19

对于一般的输入x(n)，由 y(n)?x(n)?h(n) Y(ej?)?X(ej?)H(ej?) 1?y(n)?H(ej?)X(ej?)ej?nd? 2???1?

x(n)?X(ej?)ej?nd? 2???上式可进一步说明频率响应的意义：若系统的频率响应为H(ej?)，输入为x(n)，则系统的每

??个复指数微分分量

11X(ej?)ej?nd?的输出响应为H(ej?)X(ej?)ej?nd?。 2?2? 总的输出响应等于系统对于x(n)的每个复指数微分分量的响应的叠加。

四、频率响应的几何确定法

MM ?1?z?cm?1?cmz ?1?1H(z)?KmN?Kz?N?M?mN

?z?dk?1?dkz?1 k?1k?1系统的频率响应为系统函数在单位圆上的值：

M

ej??cm j??1H(ej?)?Kej?N?M??mN?H(ej?)ejarg?H(e)?

ej??dk k?1M

ej??cm ?1H(ej?)?KmN因此，幅频响应：

ej??dk k?1 MNj?j?相频响应： argH(e)?arg?K??arge?cm?argej??dk??N?M??m?1k?1

LSI的频率响应的幅度等于各零点至ej?点矢量长度之积除以各极点矢量至ej?点矢量长度之积，再乘以常数|K|。

LSI的频率响应的相角等于各零点至ej?点矢量相角之和减去各极点矢量至ej?点矢量相角之和，再加常数K的相角，再加线性相移分量?(N-M)。 P85;9

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