第二章 - - Z变换(2)

2.3 逆Z变换

已知序列的Z变换及其收敛域， 求序列称为逆Z变换。 序列的Z变换及其逆Z变换表示

n2如下：

X(z)?ZT?x(n)??x(n)z?n n?n1

x(n)?ZT?1?X(z)?

z反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n)；实质：求X(z)幂级数展开式

一、围线积分法(留数法)

根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区Rx-<|z|< Rx+ (Rx-?0，Rx+??)内是解析的，则在此区域内X(z)可以展开成罗朗级数：p57图2.4 jIm[z]?

X(z)?Cnz?n,Rx??z?Rx? n???C1

Cn?X(z)zn?1dz,n?0,?1,?2,?Rx?Rx? 2?jc与z变换的定义比较，x(n)就是罗朗级数的系数Cn，因此： 0Re[z]?

X(z)?x(n)z?n,Rx??z?Rx? n???1

x(n)?X(z)zn?1dz,n?0,?1,?2,? 2?jc留数定理求逆Z变换：如果函数F(z)=X(z)zn-1在围线c上连续，在c以内有K个极点用zk，在c以外有M个极点用zm，则有，

1

x(n)?X(z)zn?1dz?ResX?z?zn?1z?zk 2?jck1或

x(n)?X(z)zn?1dz??ResX?z?zn?1z?zm 2?jcm使用条件：F(z)在z=?有二阶或二阶以上零点，即要分母多项式z的阶次比分子多项式z的阶次高二阶或二阶以上。

如果zk是F(z)=X(z)zn-1的单阶极点， 则 ResX?z?zn?1z?zr?z?zrX?z?zn?1z?zr

如果zk是F(z)=X(z)zn-1的l阶极点， 则 1dl?1ln?1ResX?z?zz?zr?z?zX?z?zn?1z?zrl?1 r?l?1?!dz如果c内有多阶极点， 而c外没有多阶极点， 可以根据留数辅助定理改求c外的所有极点留数之和， 使问题简单化。

z21,?z?4例2.8：已知 X(z)?1?4?4?z???z??

4??求z反变换。 解： zn?1n?1F(z)?X(z)z? 1????4?zz??? 4??极点：z=1/4 ；4； 0 (n<-1时，-(n+1)阶) ； ?(n>1时，n-1阶)

????????????????????????? 6

零点： ? (n<1时，1-n阶)

当n?-1时，围线c内有一个一阶极点：z=1/4 ；

x(n)?1X(z)zn?1dz??ResX?z?zn?1?2?jck??z?zk????n?1n?1????z1?z4?n????Res????z???114?15????4?z??z??????4?z??z??????4??4??????z?1???z?144

当n?-2时，围线c外有一个一阶极点：z=4，且分母多项式z的阶次比分子多项式z的阶次

高二阶；而在围线c内部则有一个一阶极点z=1/4及一个-(n+1)阶极点z=0；因此采用外围极点较方便。

x(n)?1X(z)zn?1dz???ResX?z?zn?1?2?jcm??z?zk???? ????zn?1zn?14n?2??????Res???z?4??1??1??15????????4?zz?4?zz???????4??4??????z?4??z?41?n4u(n?1)?4n?2u(?n?2)15若上题收敛域改为z?4

zn?1n?1F(z)?X(z)z? 1????4?zz??? 4??因此x(n)为： x(n)???则当n?0时，围线c内有两个极点：z=4, 1/4 ；

1

x(n)?X(z)zn?1dz?ResX?z?zn?1z?zk 2?jck ???? ????zn?1zn?11?n??Res???4?4n?2 ?Res?15??4?z??z?1????4?z??z?1?????? ??4??4??????z?4??z?1 4??????当n?0时，围线c外没有极点。x(n)?0

4?4 u(n)因此x(n)为： x(n)?15

1. 同一个z变换函数，收敛域不同，对应的序列不同； 2. 在求函数的极点时要全面，如无穷大点和零点；

二、部分分式法

1. 同一个z变换函数，收敛域不同，对应的序列不同；

P(z)2. 常用序列的z变换是一个有理分式，可表示为：

X(z)? Q(z)

7

1??nn?2?其中，P(z)、Q(z)分别是z的实数系数多项式；

3. P(z)=0的根是X(z)的零点(分单阶零点和多阶零点)； Q(z)=0的根是X(z)的极点(分单阶极点和多阶极点)；

设x(n)的Z变换X(z)是有理分式，分母多项式是N阶，分子多项式是M阶，可将X(z)展成一些简单的常用的部分分式之和。

1. 有理函数X(z) 可展成一些简单的常用的部分分式之和。

M biz?iM?NM?rrAkCk?n X(z)?P(z)?i?1?Bz??nM?1?1kQ(z) ?in?1k?11?zkzk?11?ziz1?aiz整式部分系数 单阶极点 多阶极点 i?1 2?5z?z22?1X(z)??2z?3? z?z21?z?1 ?15z11 X(z)????1?2?1?11?z?6z1?2z1?3z

例2.9 用部分分式法求逆Z变换。

1

X(z)?,|z|＞2?1?1 (1?2z)(1?0.5z)解：收敛域为圆外，右边序列。z→∞时，X(z)趋近于有限值1，确定是因果序列。X(z)有两个一阶极点：z1= 2和z2= 0.5

A1A2

X(z)?? 1?2z?11?0.5z?114求得系数(留数)为 ?1A1??(1?2z)|?z?2 (1?2z?1)(1?0.5z?1)3 11?1A??(1?0.5z)|??2z?0.5 (1?2z?1)(1?0.5z?1)3查表2.1可得

41x(n)?[?2n??0.5n]u(n)

33

5z?1例2.10 已知 X ( z ) ? ,2 ? z ? 3 ，求逆Z变换。 解：

???????X(z)5z?255A1A2??2????1?2z1?z?6zz?z?6(z?2)(z?3)z?2z?3X(z)X(z)A1?Res[,2]?(z?2)z?2?1zzX(z)X(z)A2?Res[,?3]?(z?3)z??3??1zzX(z)11??z(z?2)(z?3)11X(z)???11?2z1?3z?1

8

1?z?1?6z?2因为收敛域为2<|z|<3，第一部分极点是z=2，因此收敛域为|z|>2。第二部分极点z=-3，收敛域应取|z|<3。查表2-1得到： x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1)

三、幂级数法(长除法)

Z变换的定义可知: X(z)是复变量z-1的幂级数，其系数是序列x(n)的值

??? X(z)?x(n)z?n?????x(?1)z1?x(0)z0?x(1)z?1?x(2)z?2????(2.8)n???显见: 只要在给定的收敛域内，把X(z)展开成幂级数，则级数的系数就是序列x(n) X(z)展开成幂级数的方法 :

log，sin，cos等函数: 利用幂级数公式 有理分式: 直接用长除法

例2.11 求 X ( z ) ? ln(1 ? az ?1 ) ，|a|＜|z| 的逆Z变换。 解：利用ln(1+ x)，且|x|＜1的幂级数公式

ln(1?x)?x?121n?13(?1)n???(?1)n?1n2x?3x??nx???x(?1＜x≤1)展开X(z)得 n?1n???

X(z)?ln(1?az?1)?(?1)n?1anz?n

n?1n由收敛域|a|＜|z|知x(n)为右边序列

x(n)?(?1)n?1anu(n)注: X(z)的闭合形式加上收敛域，才能唯一确定nx(n)。

2.4 Z变换的基本性质和定理 １．线性：满足叠加原理

Z[ax(n)+by(n)] = aX(z)+bY(z)， R-＜|z|＜R+

例2.12 求序列x(n) = u(n)- u(n-3)的Z Z[u(n)]?z变换。 ,z＞1???Z[u(n?3)]?z?n?z?3z?2

z?1)]?Z[x(n?3)]n?31?z?1?z?1,z＞1 X(z)?Z[x(n ?z?z?2z2?z?1

z?1z?1?z2由于出现零极点抵消，收敛域增大了。

由于x(n)是n≥0的有限长序列，收敛域是除|z|= 0之外的全部z平面。

例2.13 求序列 x ?n ? ? cos ?? 0 n ? u ?n ?的Z变换。 解：

ZT

?cos??0n?u?n??

?ZT??ej?0n?e?j?0n?2u?n?????12ZT?ej?0nu?n???12ZT?e?j?0nu?n?? ?11?z?12?1?ej?0z?1??12?1?e?j?0z?1??cos?01?2z?1cos??2, z?10?z 9

2. 序列的移位

设X(z)=ZT［x(n)］, Rx-<|z|

????证明 ?n?mZ[x(n?m)]?x(n?m)z?zx(k)z?k?z?mX(z) n???k???m-n=k

??ZT?(n)?1，收敛域为Z平面；

ZT?(n?1)?z?1，在z=0处不收敛； ZT?(n?1)?z1，在z=∞处不收敛。

3. 乘以指数序列

设 X(z)=ZT［x(n)］, Rx-<|z|

y(n)=anx(n), a为常数 则 Y(z)=ZT［anx(n)］

=X(a-1 z) |a|Rx-<|z|<|a|Rx+

????证明 nn?nZ[ax(n)]?ax(n)z?x(n)(a?1z)?n?X(a?1z) n???n???

４．序列的线性加权

d

Z[nx?n?]??zX(z) dz????dd?n证明 ?zX(z)??zx(n)z??z(?n)x(n)z?n?1dzdzn???n???

??

?nx(n)z?n?Z[nx(n)] n???５．序列的折叠（倒置） ：

?1?1Z[x(?n)]?X(z?1),Rx ?＜z＜Rx?????证明 ?nZ[x(?n)]?x(?n)z?x(n)(z?1)?n?X(z?1) n???n???６．初值定理 ：若x(n)是因果序列，即x(n)= 0，n＜0，则 x(0)?limX(z)z??证明：x(n)是因果序列，有

??

X(z)?x(n)z?n?x(0)?x(1)z?1?x(2)z?2???x(n)z?n?? n?0显然

x(0)?limX(z)z??

若x(n)是逆因果序列，即x(n)= 0，n＞0，有 x(0)?limX(z)z?0

７．终值定理 ：若x(n)是因果序列，且X(z)的全部极点，除在z= 1处可以有一阶极点外，其余极点都在单位圆内，则

limx(n)?lim[(z?1)X(z)]n???z?1

???????? 10

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