第二章 序列的Z变换与傅里叶变换 2.1 引言
信号与系统的分析方法:
时域分析；变换域分析 信号与系统的分析方法有多种
连续时间信号与系统：拉普拉斯变换、傅里叶变换；信号用时间 t的函数表示；系统用微分方程描述。
离散时间信号与系统：z变换、傅里叶变换；信号用序列表示；系统用差分方程描述。 z变换是一个很重要数学工具，可用于求解差分方程，同时它也可以从不同的侧面和方法对离散信号的频域特征进行分析，还能很方便地分析系统的因果性、稳定性等方面的特性。 2.2 Z变换的定义与收敛域 一、z变换的定义
序列x(n)的Z变换定义：
?双边Z变换
X(z)?x(n)z?n n?????单边Z变换
X1(z)??1[x(n)]?x(n)z?n(2.2) n?0因果序列的Z变换: 单边Z变换可以看成因果序列情况下的双边Z变换
z是一个复变量， 它所在的复平面称为z平面。z是一个连续复变量，具有实部和虚部。 变量z的极坐标形式 z?|z|ej?单位圆:
在Z平面上|z|= 1为半径的圆 单位圆上的参数可表示为 z ?ej?
例2.1 求序列 x ( a n u ( n ) 的Z变换。 n ) ?解：序列x(n)是因果序列，根据Z变换的定义 ?????? X(z)?x(n)z?n?anz?n?(az?1)nn???n?0n?0
?1?az?1?(az?1)2?(az?1)3????
分析收敛性：X(z)是无穷项幂级数。
当|z|≤a时级数发散，当|z|＞|a|时级数收敛。 X(z)可用封闭形式，即解析函数形式表示为
?? 1zX(z)?(az?1)n??,|z|＞|a|?1 1?azz?an?0二、z变换的收敛域
收敛域: 对于给定的任意序列x(n)，使其Z变换收敛的所有z值的集合组成的区域。 Z变换存在的条件是等号右边级数收敛， 要求级数绝对可和， 即
?
x(n)z?n?M?? n???使上式成立的Z变量取值的域称为收敛域。 根据罗朗级数性质，收敛域一般是某个环域
收敛半径Rx-可以小到0，Rx+可以大到∞
收敛域以原点为中心，Rx-和Rx+为半径的环域
??????? 1
不同形式的序列x(n)其收敛域形式不同。 1. 有限长序列 ?x(n)n1?n?n x(n)??2其它 ?0n2其Z变换为 X(z)?x(n)z?n
n??n1收敛域：
n1<0，n2≤0时(-n=0~c）， 0≤z＜∞ n1<0，n2>0时(n=-a~b)， 0 例2.2 求序列 x ( n ) ? a n R N (n ) 的Z变换。 解：根据Z变换的定义 N??1N??1 X(z)?az?(az?1)n?1?(az?1)Nn?n1?az?1讨论： n?0n?0假设|a|是有限值，且|a|＜1。 X(z)有一个z= a的极点，但也有一个z= a的零点，将零极点对消。 收敛域为0＜|z|≤+∞。 2. 右边序列 ?x(n)n?n x(n)??1其它Z变换： ?0?? X(z)?x(n)z?n??1?x(n)z?n???x(n)z?n n?n1n?n1n?0第一项收敛域：0≤|z|＜∞ 第二项收敛域：Rx-<|z|≤∞ 收敛域：Rx-<|z|<∞ 如果是因果序列，收敛域为Rx-<|z|≤∞ 3. 左边序列 ?x(n)n x(n)???n2Z变换： ?0其它?n X(z)?2?nx(n)z?n0?x(n)z?n??2x(n)z?n n???n???n?1第二项收敛域：0＜|z|≤∞ 第一项收敛域：0≤|z| 如果n2<0， 收敛域定为0≤|z|< Rx+ 2 4. 双边序列 x(n)?? ?0n1?n?n2?x(n)其它Z变换： ?? X(z)?x(n)z?n???x(n)z?n??1?x(n)z?n n???n?0n???右边序列：n1≤-1，Rx- <|z|<∞； 如果n1>-1 ， Rx- <|z|≤∞。 左边序列：n2>0，0<|z|< Rx+； 如果n2<0， 0≤|z|< Rx+ 。 ?双边序列：Rx-<|z|< Rx+ 。 例2.3求x(n)=?(n)的z变换及其收敛域。 解： 这是一个有限长序列。 ?? X(z)?ZT??(n)???(n)z?n?10?z??n???所以收敛域为整个z的闭平面。 分析2.1例x(n)=anu(n)的z变换及其收敛域。 解： 这是一个右边序列，并且是一个因果序列。 收敛域为极点所在圆|z|=|a|的外部。 一般说来，右边序列的z变换的收敛域一定在 模最大的有限极点所在圆之外，对因果序列，包含z=?。 例2.4 求x(n)=-bnu(-n-1)的z变换及其收敛域。 解： 这是一个左边序列。 ????1?? X(z)??bnu(?n?1)z?n??bnz?n???b?1z?n?1z?b n???n???n?11?bz?1,收敛域为极点所在圆|z|=|b|的内部。 一般说来，左边序列的z变换的收敛域一定在 模最小的有限极点所在圆之内，但原点不一定。 例2.5 求x(n)= anu(n) -bnu(-n-1)的z变换及其收敛域。 解： 这是一个双边序列。 ???1 X(z)?x(n)z?n?anz?n?bnz?n?z?2z?a?b?,n????n??0n?????z?a??z?b?a?z?b收敛域为为一个圆环。 一般说来，双边序列的z变换的收敛域 一定在其左边序列模最小的有限极点所在圆之内， 在其右边序列模最大的有限极点所在圆之外。 3 x(n)=?(n) X(z)?1 1X(z)?,z?ax(n)=anu(n) ?11?az 1X(z)?,z?bx(n)=-bnu(-n-1) ?11?bz z?2z?a?b?X(z)?,a?z?bx(n)= anu(n) -bnu(-n-1) ?z?a??z?b? 常见序列Z变换 P49表2.1 z变换的特点 1. 同一个z变换函数，收敛域不同，对应的序列不同； 2. 常用序列的z变换是一个有理分式，可表示为： P(z) X(z)? Q(z)其中，P(z)、Q(z)分别是z的实数系数多项式； 3. P(z)=0的根是X(z)的零点(分单阶零点和多阶零点)； Q(z)=0的根是X(z)的极点(分单阶极点和多阶极点)； 4. 在极点处z变换不存在，因此收敛域中没有极点，收敛域一般为同心圆环，用极点限定其边界。 – 右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有限极点所在圆之外 – 左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有限极点所在圆之内 例2.6： N?? ?n?n N n???n???n2n1n2?1 N?1?Nn ?n ?1n?n1n?0 N 2 N?1 jIm[z] 2?rj N Re[z] 0 例1：求x(n)?R(n)的z变换及其收敛域解：X(z)=?x(n)z=?R(n)z1?z=?z?1?zz?1?z(z?1)q?q?q?1?qn??时须满足q?1零点：z?e r?1,...,N?1极点：z?0 （N?1）阶Roc: 0?z?? 4 例例2.74：求： x(n)?an，a为实数，求其z变换及其收敛域 ??解：X(z)=x(n)z?n??=anz?n??1=a?n??z?n?anz?n n???n???n???n?0?? =anzn???anz?n n?1n?0 ?? ?anzn?az1?azaz?1?z?1/a n?1? ?anz?n?1az?1 ?1?1?z?an??01?az ?当a?1时，无公共收敛域，X(z)不存在 当a?1时，X(z)?az1z(1?a2)1?az?1?az?1?(1?az)(z?a) Roc: a 零点：z?0,?Re[z a]极点：z?a,a?101/a 作业：p84 2.1、2.3 5 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库第二章 - - Z变换在线全文阅读。
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