第二章 - - Z变换(3)

证明：由移位性质可得 ??? (z?1)X(z)?zX(z)?X(z)?Z?x(n?1)?x(n)??[x(n?1)?x(n)]z?n n????nx(n)是因果序列，则 (z?1)X(z)?lim[x(k?1)?x(k)]z?k

?nn???k??1 lim[(z?1z?1)X(z)]?nlim???[x(k?1)?x(k)]k??1

?nlim{[???x(0)?0]?[x(1)?x(0)]???[x(n?1)?x(n)]} ?nlim{???x(n?1)}?nlim???x(n)8. 复序列的共轭? ZTx*?n???X*?z*?, Rx??z?Rx? ?????? ZTx*?n??x*?n?z?n??x?n??z*??n?*证明：

n???n??? ??????*?n?x?n?z*???X* ??z*?, Rx??z?Rx?n????9．序列的卷积 ：

W(z)= Z[x(n)*y(n)]= X(z)·Y(z)， R-＜|z|＜R+

证明

????W(z)?Z[x(n)*y(n)]?[x(k)y(n?k)]z?n n???k???交换求和次序，并代入m= n-k得

????W(z)?x(k)y(n?k)z?n k???n???

????

?x(k)z?ky(m)z?m?X(z)?Y(z)

k???m???例2.１4 x (n)?anu(n),h(n)?bnu(n)?abn?1u(n?1)求 y(n)?x(n)*h(n) = Z1[Y(z)] = bnu(1n)az?11?az?1解：查表得 X (z)?

1?az?1,H(z)?1?bz?1?1?bz?1?1?bz?1X(z)和H(z)收敛域分别为|z|＞a和|z|＞b，所以

z Y(z)?X(z)?H(z)?z?b,|z|＞b由收敛域知y(n)是因果序列，其z反变换为： y(n)?x(n)*h(n) = Z-1[Y(z)] = bnu(n)讨论：在z= a处，X(z)的极点被H(z)的零点所抵消，

如果|b|＜|a|，则Y(z)的收敛域比X(z)与H(z)收敛域的重叠部分要大，如图所示。

11

2.5 序列的Z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系 ??sts???j???X(s)?LTx(t)?x(t)edta拉普拉斯变换 ????j??1拉普拉斯逆变换 x(t)?LT?Xa(s)??x(t)estdt??j?

s?j? ???X(j?)?FTx(t)?x(t)e?j?tdt傅里叶变换 ???傅里叶逆变换 ?1x(t)?FT?X(j?)??X(j?)ej?td???

?x(n)z?n序列x(n)的Z变换 X(z)?n???

1X(z)zn?1dz,n?0,?1,?2,?逆Z变换 x(n)?2?jc

抽样信号的拉普拉斯变换 ??????Xa(s)?LT?xa(t)??xa(t)e?stdt ???? ??xa?nT???t?nT?e?stdt ???n??? ?? ?xa?nT???t?nT?e?stdt??n???

? ?xa?nT?e?nsT n???抽样序列的z变换为 ?sTX(z)z?esT?X(e)?Xa(s)

?X(z)?ZTx?n??x?n?z?n

n???

抽样序列的z变换就等于抽样信号的拉普拉斯变换。

两个变换的关系就是复变量s平面到复变量z平面的映射：

1sT s?lnzz?eT

令 s=?+j?, z=rej?

得到： rej? =e(?+j?)T=e?Tej?T , 因而 r=e?T， ?=?T

???????????????

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2. ?= ?T

?=0 、?/T 、3?/T、 ?0与?的对应关系 ?变化时与?的对应关系

s平面到z平面的 映射是多值映射。

（傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴的特例，即s＝jΩ，因而映射到z平面上为单位圆，代入 抽样序列的z变换

??s?X(z)z?esT?X(esT)?X(2.89)a

得 ?(j?)X(z)z?ej?T?X(ej?T)?X(2.94)a

取样序列在单位圆上的Ｚ变换，等于其理想取样信号的傅里叶变换 。 ） 3. 抽样序列x(n)的z变换X(z)和连续信号xa(t)的拉普拉斯变换Xa(s)的关系。

?1?采样定理 Xa?j???Xa?j??k?s?Tk???

延拓到整个复平面

?? 1?sTX(z)z?esT?X(e)?Xa(s)Xa?s??Xa?s?jk?s? Tk???

??112??? X?z?ST?Xa?s?jk?s??Xa?s?jk?z?eTTT?? k???k???4. 抽样序列x(n)的z变换X(z)和连续信号xa(t)的傅里叶变换Xa(j?)的关系。 1?1?2???Xz?Xs?jk??Xs?jk?????STasa? z?eTk???Tk???T?? 抽样序列在单位s?j?,??0 圆上的z变换， ??12???j?T就等于其理想抽 X(z)j?T?X(e)?Xa(j?)?Xj??jk??az?eTk????T?样信号的傅里叶 变换 ???T,r?1 单位圆上的z变换是和信号的频谱相 ?1???2?k?联系的，因而常称单位圆上的z变换 X(z)j??X(ej?)?X?a?jz?eTk????T?为序列的傅里叶变换。 ?序列的傅里叶变换 j?DTFT?x?n???Xe?x?n?e?j?n n?????????????? 13

2.6 序列的傅里叶变换 1. 序列的傅里叶变换的定义

序列的傅里叶变换就是序列的z变换在单位圆上的值

X?ej?????X?z?z?ej??x?n?e?j?n n

x?n??1?????X?z?zn?1dz?1??X?ej?2?jz?12????ej?n d?正变换 ?????DTFTx?n???Xej??x?n?e?j?n n???

反变换 DTFT?1??j????x?n??1??X?ej??

?Xe?2???ej?nd?说明： ??(1) 傅里叶变换收敛条件 x?n?e?j?n???x?n???

n???n???(2) ?= ?T，X(ej?)为连续周期函数，x(n)是离散时间序列。 (3) 对连续信号，傅里叶变换定义为 F(j?)?DTFT?f(t)?????f(t)e?j?t?dt

X(j?)???x(t)e?j?t??dtXs)?LT?x(t)???a(x(t)e?stdts= j? ???

X??a(s X(j?)) ?=?/T ?= ?T s?1lnz Tz?esT X?ej???????x?n?e?j?nX(z)?ZT?x?n???x?n?z?n n???j?n???

z?e

频谱用实部和虚部表示 X(ej?)?Xj?j?R(e)?jXI(e)(2.42)

频谱用幅度和相位表示

X(ej?)?|X(ej?)|ejarg[X(ej?)]?X(?)ej?(?)(2.43)

幅度特性

X(?)?|X(ej?)|?X2j?2R(e)?Xj?I(e)(2.44) 相位特性 ?(?)?arg[X(ej?)]=argXj?I(e)j(2.45) X?R(e)

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例2.15 设x(n)=RN(n)， 求x(n)的FT。

解： X(ej???)?R?j?nN??1N(n)e?e?j?n n???n?0

1?ej?Nej?N/2(e?j?N/2?ej?N/2?)

1?e?j??e?j?N/2(ej?/2?e?j?/2) ?e?j(N?1)?/2sin(?N/2)

sin?/2

?X(ej?)ejarg[H(ej?)]其中相位响应： arg[R?N(ej)]=-?(N?1)/2画出模和相位的曲线 ，如下图（N=5） 频谱是ω的连续周期函数，周期为2π。 X(ej(??2?))?X(ej?)x(n)为实序列时，频谱幅度在区间0≤ω≤2π内是偶对称函数，相位是奇对称函数。

序列傅里叶变换的性质 １．线性：满足叠加原理 F[ax1(n)?bx2(n)]?aX1(ej?)?bX2(ej?)2．序列的移位 ： F[x(n?k)]?e-j?kX(ej?)3．序列的调制 ： F[ej?0nx(n)]?X(ej(???0))4．序列乘以n ： dX(ej? F[nx(n)]?j)d?5．序列的折叠： F[x(?n)]?X(e-j?)6．序列的复共轭 ： F[x*(n)]?X*(e-j?)F[x*(?n)]?X*(ej?)??7．序列的卷积 ：F[ x(n)?y(n)]?[x(n)?y(n)]e?j?n ?n???令n-k= m

?x(k)e?j?k?y(m)e?j?n?X(ej?)Y(ej?)k????m???? 15

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