2013年全国高考理科数学试题分类汇编14：导数与积分 Word版含答(5)

24．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））已知a?R,函

数f(x)?x3?3x2?3ax?3a?3.

(1)求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)当x?[0,2]时,求|f(x)|的最大值.

【答案】解:(Ⅰ)由已知得:

f?(x)?3x2?6x?3a?f?(1)?3a?3,且

f(1)?1?3?3a?3?3a?1,所以所求切线方程为:y?1?(3a?3)(x?1),即

为:3(a?1)x?y?4?3a?0;

(Ⅱ)由已知得到:f?(x)?3x2?6x?3a?3[x(x?2)?a],其中??4?4a,当

x?[0,2]时,x(x?2)?0,

(1)当a?0时,f?(x)?0,所以f(x)在x?[0,2]上递减,所以

|f(xm)a?|xf(?mfax{f(0),0?a)(2,)}f?3m因为

a(a?;

1?f(2)当??4?4a?0,即a?1时,f?(x)?0恒成立,所以f(x)在x?[0,2]上递增,所

以|f(x)|max?max{f(0),f(2)},因为

f(0)?3(1?a),f(2)?3a?1?f(0)?0?f(2)?|f(x)|max?f(2)?3a?1;

(3)当??4?4a?0,即0?a?1时,

f?(x)?3x2?6x?3a?0?x1?1?1?a,x2?1?1?a,且0?x1?x2?2,即

x 0 (0,x1) + x1 0 (x1,x2) - x2 0 (x2,2) + 2 f?(x) f(x) 3?3a 递增 极大值 递减 极小值 递增 3a?1 所以f(x1)?1?2(1?a)1?a,f(x2)?1?2(1?a)1?a,且

?f(x1)?f(x2)?2?0,f(x1)f(x2)?1?4(1?a)3?0,所以f(x1)?|f(x2)|,

所以|f(x)|max?max{f(0),f(2),f(x1)}; 由f(0)?f(2)?3?3a?3a?1?0?0?a?(ⅰ)当0?a?2,所以 32时,f(0)?f(2),所以x?(??,1]?a[??,时),y?f(x)递3增,x?(1,a)时,y?f(x)递减,所以|f(x)|max?max{f(0),f(x1)},因为

a2(3?4a)2(1?a)1?a?(2?3a),0所以

f(x1)?f(0)?1?2(1?a)1?a?3?3a?2(1?a)1?a?(2?3a)?,又因为0?a?2a?0,?3a4?,所以2?33,0所以f(x?)1)?f(0|f(x)m|ax?f(x1?)?1(ⅱ)当

2?(1a)? a12?a?1时,f(2)?0,f(0)?0,所以|f(x)max,因为|?max{f(2),fx(1)}3f(x1)?f(2)?1?2(1?a)?1a?a3??1,此时3a?2?0,当①当

2(1?a)?1a?a(3??2)2(1?a)1?a?(3a?2)a2(3?4a)2?a?1时,3?4a是大于零还是小于零不确定,所以 323?a?时,3?4a?0,所以34f(1x?)|f(,2所)以|此时

|f(x)|max?f(x1)?1?2(1?a)1?a; ②当

3?a?1时,3?4a?0,所以4f(1x?)|f(,2所)以|此时

|f(x)|max?f(2)?3a?1

??3?3a,(a?0)?3综上所述:|f(x)|max??1?2(1?a)1?a,(0?a?).

4?3?3a?1,(a?)?4

25．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知

函数f?x?=ln?1?x??x?1??x?.

1?x(I)若x?0时,f?x??0,求?的最小值;

(II)设数列?an?的通项an?1?

【答案】

1111??????,证明：a2n?an??ln2. 23n4n

26．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知函数

f(x)?x2lnx.

(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间;

(Ⅱ) 证明: 对任意的t>0, 存在唯一的s, 使t?f(s).

(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s关于t的函数为s?g(t), 证明: 当t>e2时, 有2lng(t)1??. 5lnt2【答案】

27．（2013年高考北京卷（理））设L为曲线C:y?lnx在点(1,0)处的切线. x(I)求L的方程;

(II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.

【答案】解: (I)设f(x)?lnx1?lnx,则f?(x)?.所以f?(1)?1.所以L的方程为2xxy?x?1.

(II)令g(x)?x?1?f(x),则除切点之外,曲线C在直线l的下方等价于

x2?1?lnx. g(x)满足g(1)?0,且g?(x)?1?f?(x)?. g(x)?0(?x?0,x?1)2x2当0?x?1时,x?1?0,lnx?0,所以g?(x)?0,故g(x)单调递减;

当x?1时,x?1?0,lnx?0,所以g?(x)?0,故g(x)单调递增. 所以,g(x)?g(1)?0(x?0,x?1). 所以除切点之外,曲线C在直线L的下方. 又解:g(x)?0即x?1?2lnx?0变形为x2?x?lnx?0,记h(x)?x2?x?lnx,则x12x2?x?1(2x?1)(x?1)h?(x)?2x?1???,

xxx所以当0?x?1时,h?(x)?0,h(x)在(0,1)上单调递减; 当x?1时,h?(x)?0,h(x)在(1,+∞)上单调递增. 所以h(x)?h(1)?0.)

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