2013年全国高考理科数学试题分类汇编14：导数与积分 Word版含答(4)

小值F(x1),而F(x1)=2x1?2?x12?4x1?2=?x1(x1?2)≥0, ∴当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立, (2)若k?e,则F?(x)=2e(x?2)(e?e),

∴当x≥-2时,F?(x)≥0,∴F(x)在(-2,+∞)单调递增,而F(?2)=0, ∴当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立, (3)若k?e,则F(?2)=?2ke2?222x2?2=?2e?2(k?e2)<0,

∴当x≥-2时,f(x)≤kg(x)不可能恒成立, 综上所述,k的取值范围为[1,e].

21．（2013年高考湖北卷（理））设n是正整数,r为正有理数.

2(I)求函数f(x)??1?x?r?1??r?1?x?1(x??1)的最小值;

rnr?1??n?1?(II)证明:

r?1r?1?n?n?1???nr?1;

r?1r?1(III)设x?R,记??x??为不小于x的最小整数,例如??2???2,??????4,?????1.令

2?3???S?381?382?383??3125,求??S??的值.

(参考数据:80?344.7,81?350.5,124?618.3,126?631.7)

rr??f(x)?r?11?x?r?1?r?11?x?1? ??????????【答案】证明:(I)??43434343?f(x)在??1,0?上单减,在?0,???上单增.

?f(x)min?f(0)?0

(II)由(I)知:当x??1时,?1?x?r?1??r?1?x?1(就是伯努利不等式了)

r?1r?1r??n??r?1?n??n?1?所证不等式即为:? r?1r?1r??n??r?1?n??n?1?若n?2,则nr?1??r?1?nr??n?1?r?1?1???n?r?1???1???n?1?

?n?r

r?1??1???1??①

n?1?n?rrr?1? ??1?????1,???nn?1n?n?rrrr?1?,故①式成立. ??1???1??1?nnn?1??若n?1,nr?1r??r?1?nr??n?1?rr?1r?1显然成立.

rnr?1??r?1?n??n?1?r?1??n?r?1??1???n?1?

?n?r?1??1???1??②

n?1?n?rrr?1? ??1????1,?nn?1?n?nrrr?1?,故②式成立. ??1???1??1?nnn?1??综上可得原不等式成立.

144?4??3?4333(III)由(II)可知:当k?N时,?k??k?1?3??k???k?1?3?k3?

4?4???r*444???3125?43?S???k3??k?1?3???1253?803??210.225

4k?81??4??4444???3125?3S????k?1?3?k3???1263?813??210.9

4k?81??4?????S???211

22．（2013年高考陕西卷（理））已知函数f(x)?ex,x?R.

(Ⅰ) 若直线y=kx+1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值; (Ⅱ) 设x>0, 讨论曲线y=f (x) 与曲线y?mx2(m?0) 公共点的个数. (Ⅲ) 设a

f(a)?f(b)f(b)?f(a)与的大小, 并说明理由. 2b?a

【答案】解:(Ⅰ) f (x)的反函数g(x)?lnx. 设直线y=kx+1与g(x)?lnx相切与

?kx0?1?lnx0??22?2点P(x0，y0)，则?1?x0?e,k?e .所以k?e

?k?g'(x0)?x0?(Ⅱ) 当 x > 0,m > 0 时, 曲线y=f (x) 与曲线y?mx2(m?0) 的公共点个数即方程f(x)?mx2 根的个数.

exexxex(x?2)由f(x)?mx?m?2,令h(x)?2?h'(x)?, 2xxx2则 h(x)在(0,2)上单调递减，这时h(x)?(h(2),??);

h(x)

在(2,??)上单调递增,这时h(x)?(h(2),??).e2h(2)?4.

h(2)是y?h(x)的极小值即最小值。所以对曲线y=f (x) 与曲线y?mx2(m?0) 公共点的个数,讨论如下:

e2e2e2（，??）当m ?(0,)时,有0个公共点;当m= ,有1个公共点;当m ?有2个

444公共点; (Ⅲ) 设

f(a)?f(b)f(b)?f(a)(b?a?2)?f(a)?(b?a?2)?f(b)??

2b?a2?(b?a)(b?a?2)?ea?(b?a?2)?eb(b?a?2)?(b?a?2)?eb?aa???e

2?(b?a)2?(b?a)令g(x)?x?2?(x?2)?e,x?0,则g'(x)?1?(1?x?2)?e?1?(x?1)?e.

xxxg'(x)的导函数g''(x)?(1?x?1)?ex?x?ex?0,所以g'(x)在（0，??）上单调递增,而g(0)?0, ,且g'(0)?0.因此g'(x)?0，g(x)在(0,??)上单调递增所以在(0,??)上g(x)?0.

?当x?0时，g(x)?x?2?(x?2)?ex?0且a?b,

(b?a?2)?(b?a?2)?eb?aa??e?0

2?(b?a)

所以当a

2b?a23．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设函数

f(x)?x?c(e=2.71828是自然对数的底数,c?R). e2x(Ⅰ)求f(x)的单调区间、最大值; (Ⅱ)讨论关于x的方程lnx?f(x)根的个数.

'?2xf(x)?(1?2x)e【答案】解:(Ⅰ),

由f(x)?0,解得

'x?12,

x?当

1'2时,f(x)?0,f(x)单调递减

11(??,)(,??)2,单调递减区间是2所以,函数f(x)的单调递增区间是, 11f()??c2e最大值为2

g(x)?lnx?f(x)?lnx?(Ⅱ)令

x?c2xe x?(0,??)

x?ce2x,

(1)当x?(1,??)时,lnx?0,则

g(x)?lnx?g(x)?e所以,

'?2xe2x(?2x?1)x

e2x?0'g2x?1?0x因为, 所以 (x)?0

因此g(x)在(1,??)上单调递增.

(2)当x?(0,1)时,当时,lnx?0,则

g(x)??lnx?x?ce2x,

g(x)?e所以,

'?2xe2x(??2x?1)x

2x2e?(1,e),e2x?1?x?0,又2x?1?1 因为

e2x??2x?1?0'gx所以 所以 (x)?0

因此g(x)在(0,1)上单调递减.

?2x?(0,??)g(x)?g(1)??e?c, 综合(1)(2)可知 当时,?2g(1)??e?c?0,即c??e?2时,g(x)没有零点, 当

故关于x的方程

lnx?f(x)根的个数为0;

?2g(1)??e?c?0,即c??e?2时,g(x)只有一个零点, 当

故关于x的方程

lnx?f(x)根的个数为1;

?2g(1)??e?c?0,即c??e?2时, 当

①当x?(1,??)时,由(Ⅰ)知

g(x)?lnx?x1?1?c?lnx?(e?c)?lnx?1?ce2x2

1?cg(x)?0x?(e,??); lnx?1?c?0要使,只需使,即

②当x?(0,1)时,由(Ⅰ)知

g(x)??lnx?x1?1?c??lnx?(e?c)??lnx?1?c2xe2;

?1?cg(x)?0x?(0,e); ?lnx?1?c?0要使,只需使,即

所以当c??e时,g(x)有两个零点,故关于x的方程

?2lnx?f(x)根的个数为2;

综上所述:

当c??e时,关于x的方程

?2lnx?f(x)根的个数为0;

?2lnx?f(x)c??e当时,关于x的方程根的个数为1;

当c??e时,关于x的方程

?2lnx?f(x)根的个数为2.

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