112a2?4a?3因a?,从而有S'(a)??0,
22(1?4a2)2所以当a?(,??)时S(a)单调递增.
16．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））设
12f?x??a?x?5??6lnx,其中a?R,曲线y?f?x?在点?1,f?1??处的切线与y轴
2相交于点?0,6?.
(1)确定a的值; (2)求函数f?x?的单调区间与极值.
【答案】
f(3)?2?6ln3
?x2?2x?a,x?017．（2013年高考四川卷（理））已知函数f(x)??,其中a是实数.设
lnx,x?0?A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点,且x1?x2.
(Ⅰ)指出函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2?0,求x2?x1的最小值; (Ⅲ)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围.
【答案】解:
???函数f?x?的单调递减区间为???,?1?,单调递增区间为
??1,0?,?0,???
????由导数的几何意义可知,点
A处的切线斜率为f??x1?,点B处的切线斜率为
f??x2?,故当点A处的切线与点B处的切垂直时,有f??x1?f??x2???1.
当x?0时,对函数f?x?求导,得f??x??2x?2. 因为x1?x2?0,所以?2x1?2??2x2?2???1, 所以?2x1?2??0,?2x2?2??0.
1??2x1?2???2x2?2?????2x1?2??2x2?2??1 ???231当且仅当??2x1?2?=?2x2?2?=1,即x1??且x2?时等号成立.
22因此x2?x1?所以函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直时,x2?x1的最小值为1
?????当x1?x2?0或x2?x1?0时,f??x1??f??x2?,故x1?0?x2.
当x1?0时,函数f(x)的图象在点x1,f?x1?处的切线方程为
??y??x12?2x1?a???2x1?2??x?x1?,即y??2x1?2?x?x12?a
当x2?0时,函数f(x)的图象在点x2,f?x2?处的切线方程为
??y?lnx2?11?x?x2?,即y??x?lnx2?1. x2x2?1??2x1?2 ①两切线重合的充要条件是?x2
?lnx?1??x2?a ②?21由①及x1?0?x2知,?1?x1?0. 由①②得,a?x1?ln21?1?x12?ln?2x1?2??1.
2x1?2
设h?x1??x12?ln?2x1?2??1(?1?x1?0), 则h??x1??2x1?1?0. x1?1所以h?x1???1?x1?0?是减函数. 则h?x1??h?0???ln2?1, 所以a??ln2?1.
又当x1?(?1,0)且趋近于?1时,h?x1?无限增大,所以a的取值范围是??ln2?1,???. 故当函数f(x)的图像在点A,B处的切线重合时,a的取值范围是??ln2?1,???
18．（2013年高考湖南卷（理））已知a?0,函数
f(x)?x?a.
x?2a(I)记f(x)在区间?0,4?上的最大值为g(a),求g(a)的表达式; (II)是否存在a,使函数y?f(x)在区间?0,4?内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.
【
答
案
】
3a?x?a?1-,当x??2a,或x?a时，是单调递增的。??x?2ax?2a解:a?0,f(x)??
?x?a3a??-1?,当?2a?x?a时，是单调递减的。?x?2a?x?2a(Ⅰ)
由上知，当a?4时，f(x)在x?[0,4]上单调递减，其最大值为f(0)?-1?
当a?4时，f(x)在[0,a]上单调递减，在[a,4]上单调递增。3a1?2a2令f(4)?1-
3a1?f(0)?,解得：a?(1,4],即当a?(1,4]时，g(a)的最大值为f(0);4?2a2当a?(0,1]时，g(a)的最大值为f(4)
3a?1-,当a?(0,1]时??4?2a综上，g(a)??
?1,当a?(1,??)时??2
(II)由前知,y=f(x)的图像是由两段反比例函数的图像组成的.因此,若在图像上存在两点P(x1,y1),Q(x2,y2)满足题目要求,则P,Q分别在两个图像上,且
f'(x1)?f'(x2)??1.
?3a?(x?2a)2,当x??2a,或x?a时???3a f'(x)??,当?2a?x?a时2?(x?2a)?0?a?4??不妨设
3a?3a???1,x1?(0,a),x2?(a,8]?3a?(x1?2a)(x2?2a) 22(x1?2a)(x2?2a)2?3a?2ax2?4a2?a3a?2ax2?4a?0??0?x1x2?2a(x1?x2)?4a2?3a?x1???x2?2ax2?2a?a?x?82?
?0?3?2x2?4a?2x2?3?4a?2?4a?3?4a11?????1?x2?2a??2?4a?2x2??2a?3?4a?a?，且0?a?4?a?(0,)32?a?x?8?2a?2x?16?2?4a?1622???
所以,当a?(0,)时,函数y?f(x)在区间?0,4?内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直.
19．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））已知函数
12f(x)?x?alnx(a?R)
(1)当a?2时,求曲线y?f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程; (2)求函数f(x)的极值.
【答案】解:函数
af(x)的定义域为(0,??),f?(x)?1?.
x2(x?0), x(Ⅰ)当a?2时,f(x)?x?2lnx,f?(x)?1??f(1)?1,f?(1)??1,
?y?f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y?1??(x?1),
即x?y?2?0.
(Ⅱ)由f?(x)?1?ax?a?,x?0可知: xx①当a?0时,f?(x)?0,函数f(x)为(0,??)上的增函数,函数f(x)无极值; ②当a?0时,由f?(x)?0,解得x?a;
?x?(0,a)时,f?(x)?0,x?(a,??)时,f?(x)?0
?f(x)在x?a处取得极小值,且极小值为f(a)?a?alna,无极大值.
综上:当a?0时,函数f(x)无极值
当a?0时,函数f(x)在x?a处取得极小值a?alna,无极大值.
20．（2013年高考新课标1（理））(本小题满分共12分)已知函数
f(x)=x2?ax?b,
g(x)=ex(cx?d),若曲线y?f(x)和曲线y?g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相
同的切线y?4x?2
(Ⅰ)求a,b,c,d的值;(Ⅱ)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.
【答案】(Ⅰ)由已知得
f(0)?2,g(0)?2,f?(0)?4,g?(0)?4,
x而f?(x)=2x?b,g?(x)=e(cx?d?c),∴a=4,b=2,c=2,d=2; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)?x?4x?2,g(x)?2e(x?1),
设函数F(x)=kg(x)?f(x)=2ke(x?1)?x?4x?2(x??2),
x22xF?(x)=2kex(x?2)?2x?4=2(x?2)(kex?1),
有题设可得F(0)≥0,即k?1, 令F?(x)=0得,x1=?lnk,x2=-2,
(1)若1?k?e,则-2
2
百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库2013年全国高考理科数学试题分类汇编14：导数与积分 Word版含答(3)在线全文阅读。
相关推荐：