胡适耕 实变函数答案 第三章A(6)

x50．设J??0,1?,E?J?J,?x?J:Ex与J\\E均可数，则E关于m?m不可测．

证 本题有理解问题，应理解为J??0,1??X?Y. E?X?Y，任一x?X, ．又对任一Ex??y:(x,y)?E?是可数集（故mEx?0，对每一x?X?J）

y?Y?J,J\\Ey是可数集，于是mEy?mJ?m(J\\Ey)?1?0?1

于是如果E可测，由定理3.5.1将有??m?m乘积测度

11?E??m(Ex)dm?X?0mExdx=?0dx=0

010又有?E??Ym(Ey)dm??mEydy?1

??Xm(Ex)dm??Ym(Ey)dm，矛盾．故E关于m?m不可测．

xyx注：只能作这种理解：即题设中所言J\\E可数中所言Ex?Ex，且E?E是

上截口，特指对第二变元y?J的截口．

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