胡适耕 实变函数答案 第三章A(5)

?lim(cos1?cos???) 不存在．

??0∴

?10x???1sinx??dx发散．

??当????1时，x∴x∴x???x???1，x??0,1?

sinx???x???1sinx??，而x???1sinx??在?0,1?（L）不可积． sinx??在?0,1?（L）不可积．

??从而当????1时，

?x01??sinx??dx发散．

141．设X,Y如3.5.1，f?L(X),g?L1(Y)，则

?X?Yf(x)g(y)d(???)??fd??gd?.

XY证 ∵f(x)g(y)?0由Fubini定理的3.5.2(i) ∴

?X?Yf(x)g(y)d(???)??[?f(x)g(y)d?]d?

XY其中内层积分中的f(x)与y无关，故可作为常数提出，于是得到

?[?XYf(x)g(y)d?]d???f(x)[?g(y)d?]d?．

XY同理，??中的积分值又与x无关，可作为常数提出，故得：

YXY?Xf(x)[?g(y)d?]d??[?fd?][?gd?]．

11又由已知：f?L(X),g?L(Y)，∴

?Xfd???,?gd???

Y?X?Yf(x)g(y)d(???)??fd??gd???

XY 82

1即fg?L(Z),Z?X?Y，再由Fubini定理3.5.2的(ii)知

?X?Yf(x)g(y)d(???)??fd??gd?.

XY42．设f,g?M(X),?X??，则

f(x)?g(y)?L1(???)?f,g?L1(?).

证 “?”由Fubini定理故对几乎处处的y,?X?X(f?g)d???dy?(f?g)dx，

XX?X(f?g)dx有限，从而利用反证法可取到一点y0，

使得g(y0)???，而且

?X即f(x)?g(y0)?L1(?)． [f(x)?g(y0)]dx???，

又?X??，故g(y0)?L1(?)，从而f(x)?(f(x)?g(y0))?g(y0)?L1(?) 同理g(x)?L1(?) ． “?” ∵f,g?L∴

1?Xfd???,?gd???Y

??X?Xf(x)?g(y)d(???)??d??f(x)?g(y)d?XX

?????f(x)?g(y)?dy?dx?????X?f(x)??g(y)dy?dx??X?X?X?X?

???X???f(x)dx?X??dx???XXg(y)dy???X???fdx??gdy????XX?

1∴f(x)?g(y)?L(???) ∴f(x)?g(y)?L(???). 43．求

1??0?e?ax2?e?bx2(0?a?b). ?dxxb2解 原式???0xdx?e?xydy． ∵xe?xy?0 ∴由Fubini定理，

ab?x2ya2?

?0xdx?edy??dy?ea0b??x2yxdx??ba11bdy?ln． 2y2a83

44．设f?L?0,a?,g(x)?1?axaaf(t)dt,则?gdm??fdm.

00t证

?ta0gdm??dx?0aa0aaf(t)f(t)??x,a?(t)dt??dt??[x,a](t)dx

00tt

??dt?0a0af(t)aaaf(t)tf(t)dx??dt?dx???tdt??f(t)dt??fdm

00000ttt45．设f?L?a,b?，则

1?baf(x)dx?xa21?b?f(y)dy??f(x)dx. ?a??2?证 由式左，可判定二重积分域是图示?s，

?f?L1?a,b? ∴f(x)f(y)?L1(?a,b???a,b?)

令式左?I，由Fubini定理，I可换序为I?∴2I?I?I?1?baf(y)dy?f(x)dx?I1

ybyb?babf(x)dx?f(y)dy??f(y)dy?f(x)dx

aaxbxb??f(x)dx?f(y)dy??f(x)dxaaa?bx2f(y)dy

bs(a,a)b(b,b)bbb??f(x)dx?f(y)dy???f(x)dx?

?a?aa??则

?baf(x)dx?1xa21?b?f(y)dy??f(x)dx ?a??2?45题图

ba46．设f?L?a,b?，则

?badx?dy?f(t)dt?2?(t?a)(b?t)f(t)dt．

axby1 注：本题有错，以f(t)?1为例，则f?L[a,b]，容易求出

(b?a)3?0(当b?a)． 左??dx?dy?dt?0，而右?2?(t?a)(b?t)dt?aaax6bbyb 具体改正方案，留作讨论． 47．设f,g?L[a,b],F(x)?1?xafdm,G(x)??gdm，则

ax 84

bbFgdm?FG??fGdm. ?aaab证 ∵f,g?L?a,b?，由Fubini定理，

1?baFgdm??gdm?fdm??dx?f(y)g(x)dyaaaabbbxbx

bbay??dx??[a,x](y)f(y)g(x)dy??dy??[a,x](y)f(y)g(x)dx??dy?fgdxaabbaa

(令y?x)? ? ??babdx?fgdy??dx[?fgdy??fgdy]

xaaababbbx?dx?afgdy??dx?fgdy

aabbxabaaaabx?bafdm?gdm??fdm?gdm?FGb??fGdm

48．设当xy为有理数时f(x,y)?0，否则f(x,y)?1，求

解 ?x0?(0,1)

??1100f(x,y)dxdy．

（１）若x0?(0,1)?Q，当y?Q，则x0y?Qc，故f(x0,y)?1 （２）若x0?(0,1)?Qc，则?y0?Qc，使得x0y0?Q 令Y?ny0n?Q，则?y?Y，x0y?Q，f(x0,y)?0

cc但?y?Q\\Y，x0y?Q，f(x0,y)?1，因为Q可数，故Y可数，故mY?0，

c??所以?x0?(0,1)，f(x0,y)?1,a.e.．因此

??1100f(x,y)dxdy=1．

49．设?是N上的计数测度，f(n,n)??f(n?1,n)?1(n?N)，对其他

(m,n)?N?N有f(m,n)?0．则??f(m,n)?mn??f(m,n),

nm 85

?f(m,n)??．

m,n 证 ①???f(m,n)=?(f(m,1)?f(m,2)????f(m,n)???）

mnm注意到按f(m,n)的定义，对每一固定的m，关于n的第一重求和号下，即

f(m,1)?f(m,2)???中最多只有两项不为零

?当n?m时?f(m,n)?1 于是对m?1时，?f(1,n)?1， ?n?1?f(m,n)??1 当n?m?1时而对m?2，都有

???f(m,n)?f(m,m?1)?f(m,m)?(?1)?1?0

n?1?m?1?现在

??f(m,n)??(f(m,1)?f(m,2)???)?1?0????1

m?1n?1②另一方面

??f(m,n)??(f(1,n)?f(2,n)?f(3,n)???)

n?1m?1n?1???而依f(m,n)的定义，对固定的n在一个求和号下

f(1,n)?f(2,n)?f(3,n)????f(m,n)???

实际上都只有两项不为零，且取相反数?1

当m?n时?f(m,n)?1 ??f(m,n)??1 当m?n?1时于是

??f(m,n)?0?0?0????0．

n?1m?1?????f(m,n)?

mn??f(m,n)

nmm?nm?nm?n③

?f(m,n)??f(m,n)??f(m,n)??f(m,n)

m,n??1???1?0??

m?n评注：本题在乘积空间N?N上，给出一个二元函数f(m,n)用以说明Fubini定理关于f(x,y)?L(N?N)的条件不可忽视，否则两个二次积分就不相等．

86

x50．设J??0,1?,E?J?J,?x?J:Ex与J\\E均可数，则E关于m?m不可测．

证 本题有理解问题，应理解为J??0,1??X?Y. E?X?Y，任一x?X, ．又对任一Ex??y:(x,y)?E?是可数集（故mEx?0，对每一x?X?J）

y?Y?J,J\\Ey是可数集，于是mEy?mJ?m(J\\Ey)?1?0?1

于是如果E可测，由定理3.5.1将有??m?m乘积测度

11?E??m(Ex)dm?X?0mExdx=?0dx=0

010又有?E??Ym(Ey)dm??mEydy?1

??Xm(Ex)dm??Ym(Ey)dm，矛盾．故E关于m?m不可测．

xyx注：只能作这种理解：即题设中所言J\\E可数中所言Ex?Ex，且E?E是

上截口，特指对第二变元y?J的截口．

87

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