胡适耕 实变函数答案 第三章A

第三章习题 A

1.证明：3.1.2 设f?M(X),

?Xfd?存在,A?X可测,则

?Afd?亦存在,且

?Afd?=?f?Ad?．

X???证 1若f?S(X)，A?X可测，显然f?S(A)，

?Afd?存在，

不妨设f??a?ii?1nei，ai?0且互不相等，ei为X中互不相交的可测集

nnn(i?1,2,?,n)，由f??A?(?ai?ei)?A??ai?ei?A??ai?(ei?A)．所以

i?1i?1i?1?Xf??Ad???ai??(ei?A)．

i?1n又A(f?ai)?A?ei(i?1,2,?,n),故f|A??ai?1ni??(A?ei)，从而

?Afd???ai??(ei?A)??f??Ad?．

i?1Xn2?若f?M?(X)，A?X可测，显然有f?M?(A)，

f??A?M?(A)，?fd?存在，显然???S?(A)，且f|A??

A?0令?f????(x)x?AC?，显然，?f?S(X)，且?f?f??A， x?A???A??f，?f|A??，?fd??Asupf|A???S(A)???d??Asupf|A???S(A)???Xfd?

?supf??A???S(X)???d???XXf??Ad?．∴?Afd?=?Xf??Ad?.

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3?f?M(X)，则f?f??f?，由于?f存在，故?f?，?f?中至

XXX少一个有限，不妨设

?Xf????，由于f??M?(X)，由2?知

??Xf??A??fX????，且?f??A=?f?，从而?fXAA???，

从而

?Af存在，同理由2??Xf??A=?f?，且

A?Af=?f???f?=?f??A??f??A=?f??A ．

AAXXX2．设?如§2.2中例3，f:X?R，求

解 §2.2中例3中?的定义如下:

?Xfd?.

设X是任一非空集,取定a?X,对任给A?X,

a?A?1定义?A??A(a)?? ； ca?A0??X?(X\\{a})?{a}且(X\\{a})?{a}??

又由定义知?(X\\{a})?0,?({a})?1． ∴

?Xfd?=?X\\{a}fdu+?{a}fd?=0 +?{a}fd?=f(a)??({a})=f(a)

∴

?Xfd?=f(a)．

13．设f?L(X)，则?X(f?n)?0(n??)．

证 由3.2.2引理知,对?n,有?X(f?n)?111f， n?X又由3.2.3(i)知, f?L(X)?f?L(X)，从而

?Xf???

?1f?0(n??)，故?X(f?n)?0?n???． n?X114．设f,g,g?f?L(X),??M(X),f???g,则??L(X)．

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证 由f???g，知0???f?g?f．因为g?f?L1(X)，

1所以由命题3.2.3知??f?L1(X)，又f?L1，故??(??f)?f?L．

5. 设

f,g?L1(X),则f?g,a.e?对每个可测集A?X,有

A?Afd???gd?．

1 证 “?”由f,g?L,?A?X,?Af??f??A存在

X由于X((f?g)??A?0)?X(f?g?0)，又f?g,a.e 故f??A?g??A,a.e，由命题3.2.4知 “?”令A?X(f?g)?即

?Xf??A??g??A,即?f??g．

XAA?Af??g??(f?g)d??0．

AA?Af?gd??0，由命题3.2.5知，在A上f?g?0,a.e.，从而

?A??X(f?g)?0.同理可证?X(f?g)?0.

又?X(f?g)?X(f?g)?X(f?g) ??X(f?g)?0，故在X上

f?g,a.e..

6．设f?M(X),对任何可测集A?X有

证 令A?X(f?0),则有

?Afd??0,则f?0,a.e..

?Afd??0，在A上，f?0,则有?fd??0，

A∴

?Afd??0??(?f)d??0???fd??0，

AA由命题3.2.5，当

?A?fd??0时

?f?0,a.e.于A?f?0,a.e.于A??A?0，故f?0,a.e.于X.

?7．求证：若f?M(X),则à 上的集函数?:A??Af 是一个测度．

证 (P ； 1) ??à

(P (n?1,2,??),则?An?à ； 2) 若An?à

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A?à ，则A?à ，故à 为X上的一个?代数， (P3) 若

(Q1)

c??f?0(即???0)；

(Q2) 若An?à (n?1,2,??)是互不相交的可测集, ∵f?M?(X)

??Anf??f??X?An????A?ncf???AnAn??f??A1?An??f??A2?A2??

An??X?f????????AnAn?c??X?f??????A1A1??X?f??????An??

??f??A1??f??A2?????f??f??????f

XXA2An∴?(?A)???Annnn

故à上的集函数?:A?1?Af是一个测度.

8．设f?L(X),对X上的任何有界可测函数g有

?Xfgd??0,则f?0,a.e.

?1,f(x)?0?证:取g(x)??0,f(x)?0；

??1,f(x)?0?则

?Xfd???fgd??0，故在X上f?0,a.e..

X19．设f?L(X),则???0,?A?X:?A??,1?Acfd???.

证 已知f?L(X),由命题 3.2.3 (ii) 知：

1?X(f?0)??X(f?)??An

nn?1n?1∵?An?为升列,则An为降列,又由3.2.7 (ⅲ)知,

c????Ancf??f(n??)

A 65

其中A??Acn?X\\?An?X(f?0) ∴?n?1?Ancf?0(n??)

∴???0,?AN?X,?ANcfd???．

最后让我们说明?AN??，此由已知f?L1，故??即可知.

?Xf??ANf?1?AN，N?10．设?X??,f?M(X)，且f,a.e.有限,0?y0?y1???yn??,

??max(yk?yk?1),则?fd??lim?yn?X(yn?1?f?yn).

kX??0证 令ek?X(yk?1?f?yk)，则由积分单调性，得：

yk?1?ek??f?yk?ek. 令An??ek，则当yn??时，An?X

eknk?1由积分的??可加性，得

?yk?1nk?1?ek??f??yk?ek．

Ank?1nnn∵yk?1?yk?1?yk?yk?yk?(yk?yk?1)?yk?? ∴

?(yk?1nk??)?ek??yk?1?ek??yk?ek???An??f??yk?ek

k?1k?1Ank?1n利用积分的下连续性，令??0,n??，

故

?Xfd??lim?yn?X(yn?1?f?yn).

??0n??11．设?X??,Ai?X可测（1?i?n),每个x?X至少属于q个Ai，则某个

?Ai?(q/n)?X.

证 ∵

??A????iXAid? 且?x?X,x至少属于q个Ai．

n∴

???XAid??q??X ∴??Ai?q??X??Ai,使得?Ai?(q/n)?X.

i?1若不然，则?Ai，均有?Ai??qn???X???Ai?1ni?q??X，矛盾．

?n12．设在Cantor集P上f(x)?0,在P的长为3的余区间上f(x)?n,求

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