高三数学知识静悟材料(8)

每年新增汽车数量不超过多少辆？

解：设2001年汽车保有量为b1万辆，以后各年的汽车保有量为依次为b2，b3，??，bn 万辆，设每年新增汽车x万辆，则b1=30，b2= b1?(1?0.06)+x= b1?0.94+x， 对于n>1,有bn+1=bn?0.94+x=bn—1?0.94+（1+0.94）x ????

2

1?0.94nx ? bn+1=b1?0.94+x（1+0.94+0.94+??+0.94）= b1?0.94+

0.06n

2

n-1

n

xxx?(30?)?0.94n ，当30-?0,即x?1.8时，bn+1?bn????b1=30 0.060.060.06x即各年的汽车保有量不是增加了而是减少了，当30-?0,即x>1.8时， 0.06xxx可以任意靠limbn?lim[?(30?)?0.94n?1]?,并且数列{bn}逐项增加，

n??n??0.060.060.06x近。?如果要求汽车保有量不超过60万辆，即bn?60（n=1，2，3，??）， 0.06x则?60，?x?3.6(万辆) 0.06=

答：每年新增汽车数量不超过3.6辆。

七、排列、组合、二项式定理 7.1、排列与组合 1、加法原理

做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法，??在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+?+mn种不同的方法。

2、 乘法原理

做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2

种不同的方法，??做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m13m23?3mn种不同的方法。

3、 排列、组合的概念

（1）排列：一般地说，从几个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺 序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

（2）组合：一般地说，从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

4、 排列、组合数公式

m

（1）Pn=n（n—1）（n—2）?（n—m+1）。

36

n！

m

Pn=———— （n—m）！’

n

Pn=n!；

m

Pn（n—1）（n—2）?（n—m+1） n

m

（2） Cn=——=———————————————— m

Pmm！ n！ m

Cn=———————— m！（n—m）！ 5、 组合数的性质

m m—m

（1） Cn= Cn ；

mmm—1

（2） Cn+1= Cn+ Cn .

7.2 二项式定理

1、二项式定理

n0n1 n-11 n-rrnn

（a+b）=Cna+Cnab+?+ Cnab+?+Cnb（n∈N）。

n012n

（a+b）的展开式是n次齐次次式，共n+1项，各项系数分别是Cn，Cn，Cn，?，Cn（称为二

n00n

项式系数），a的幂降次排列，由a直至a；b的幂升次排列，由b直至b。

2、二项式展开的通项公式 其规律是：（1）项数比二项式系数的“上标”多1；（2）组合数上标与b的指数相同；（3）a和b的次数之和为n。

3、 二项展开式系数的性质

（1）首先要区分“某项的二项式系数”与“某项的系数”。 （2）二项式系数的性质。

①对称性：首、末两项及距它们等远的项的二项式系数相等； ②单调性：先增后减，因此二项式系数最大的项出现在中间；

当n 为奇数时，中间两项的系数Cn =Cn 最大；当n为偶数时，中间一项的系数Cn 最大；

③二项式系数的和： 012n n

Cn+ Cn+ Cn+?+ Cn=2 ;

④展开式中奇数项与偶数项的二项式系数的和相等：

024123

Cn+ Cn+ Cn+?+ =Cn+ Cn+ Cn+?。 （3）一元多项式系数和构造方法：令字母为1。

排列、组合、二项式定理习题

1．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生。那么互不相同的分配方案共有（ ）

A 252 B 112 B 70 D 56 2．对某种产品的6种不同正品和4件不同次品一一进

37

行测试，到区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试被全部发现，则这样的测试方法有（ ）

A 24种 B 96种 C 576种 D 720种

3．如图所示，在A、B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通，今发现A、B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有（ ） A 10 B 12 C 13 D 15

4．从1，2，3，4，5，6，7，8这六个数中，任取两个做除法，可的出不同的锐角的正弦值的个数为（ ）

A 15 B 14 C 13 D 12

5．在(1?x)(1?x)的展开式中，x的系数是（ ） A 207 B 297 C ?297 D ?252

6．在(1?x)的展开式中，奇数项之和为p，偶数项之和为q，则(1?x)等于（ ） A 0 B pq C p—q D p+q

7．市内某公共汽车站有10个候车位（成一排）现有4名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有5个连续空座位的候车方式共有 种。（用数字作答） 8．有5名女运动员，6名男运动员进行乒乓球混合双打比赛，不同的对阵方法有 种。 9．教室里一横排有8张座位（如图所示，“3”表示座位） 33 3 333 33 中间有两条过道。现有8个同学入座，为了便于同学甲辅导同学乙，要求甲与乙相邻，则有 种坐法。（用数字作答） 10．一排座位有10个位置，甲、乙两人去坐，要求两人之间至少空3个座位，则有 种不同的坐法。（用数字作答）

11．编号为1，2，3，4，5的五个同学分别去坐编号为1，2，3，4，5的座位，至多有两个号码一致的做法有 种。（用数字作答）

八、概率与统计 8．1概率

1．一次试验中共有n种等可能出现的结果，其中事件A包含的结果有m种，那么事件A的概率P（A）是m/n，从集合的角度看，一次试验中等可能出现的所有结果组成一集合I，其中事件A包含的结果组成一个子集A，因此事件A的概率P（A）=card（A）/card（I）=m/n 2．不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，当A、B是互斥事件时 P（A+B）=P（A）+P（B）

3．其中必有一个发生的两个互斥事件叫做对立事件，当A、B是对立事件时 P（B）=1- P（A）。

4．如果一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，那么这两个事件叫做相互独立事件。

38

2

2

2

2

3105n2n当A、B是相互独立事件时 P（A2B）=P（A）2P（B）

5、如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn（k）=CnP（1- P），实际上，它就是二项展开式[（1- P）+P]的第（k+1项。 8．2统计

1、概率统计的基本思想 是用样本的分布去估计总体的分布。

2、常用抽样方法 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样。其中简单随机抽样是最基本的抽样方法，在进行系统抽样和分层抽样时都要用到，它是从总体中逐个抽取的，一般适用于总体中的个数较少的时候；而当总体中的个数较多时，一般运用系统抽样；而如果总体是由差异明显的几部分组成时，则一般采用分层抽样。这些抽样方法的共同特点是在抽样过程中每一个个体被抽取的概率相等。 概率与统计习题

1．一个学生通过一种英语口语测试的概率是的概率是（ ） A

kk

n- k

n

1，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过21113 B C D 43241，A发生B不发生的概率与B发生A不发生91 22．设两个独立事件A和B都不发生的概率为

的概率相同，则事件A发生的概率P（A）是（ ）

A29B118C133．要从10名女生与5名男生中选出6名学生组成课外学习小组，如果按性别依比例分层随机抽样，试问组成此课外学习小组的概率为（ ）

43364C10C52C10C5A10A52C15A B C 6 D 666C15C15C15A154．从一副52张扑克牌中任取5张，恰好是3张同点，另2张也同点的概率是（ ）

321512232A13C4C4C13C12C4C13C13C13A B C D 5555C52C52C52C525．某设备由8个相同的元件组成，只要有其中一个元件损坏时设备就不能正常工作，设在

某一时段内每个元件损坏的概率为P，则在这段时间内设备不能正常工作的概率是（ ） A P

8

B 1—P

8

C (1?P)8

D 1?(1?P)8

6．一个总体共有10个个体，用简单随机抽样的方法从中抽去一容量为3的样本，则某特定个体入样的概率是（ ）

39

A

3331 B C D 3C1010?9?810107．在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本，有以下三种抽样方法：

（1） 采用简单随机抽样法，将零件编号为00，01，??，99，抽签取出20个； （2） 采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组抽取1个；

（3） 采用分层抽样法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品

中随机抽取10个。

则下列判断正确的是（ ）

1 51B （1）（2）两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率均为，（3）并非如此

51C （1）（3）两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率均为，（3）并非如此

5A 不论采用何种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率均为D 采用不同的抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率是各不相同的 8．已知一组数据x1,x2,x3,???,x10的方差是2，

并且(x1?3)?(x2?3)?(x3?3)?????(x10?3)?120，则x= 。 9．六位身高全不相同的同学拍照留念，摄影师要求前后两排各三人，则后排每人均比前排同学高的概率是 。

10．有红、黄、蓝、绿4种颜色的纸牌各9张，每一种颜色的纸牌都顺次编号1，2，3，4，5，6，7，8，9。现将36张纸牌混合后从中任意抽出4张，则4张牌的颜色相同的概率是 ，4张牌的颜色相同且数字相连的概率是 。

11．一个罐子里面有N个（N?6）白球，从罐子里取出5个，着上红色记号，再放回罐子里，充分搅乱后，再任意取出2个，其中恰有一个上着了红色记号的概率是 ； 当N= 时，这个概率取得最大值。 12．已知10件产品中有2件是次品。（1）任意取出4件产品作检验，求其中恰有1件是次品的概率。（2）为了保证使2件次品全部检验出的概率超过0.6，至少应抽取几件产品作检验？ 解：⑴

31C8C24C102222=

8 15n?22C8C2nC10⑵设抽取n件产品作检验，则＞0.6，

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