高三数学知识静悟材料(3)

?f(m?4)?(m?4?c)(m?4?1)?0． ?f(m?4)的符号为正．

5、在直角坐标系中，设四边形OPQR的顶点按逆时针依次为O（0，0）、P（1，t）、Q（1?2t，2+t），R（?2t，2），其中t?(0,). （1）求四边形在第一象限部分的面积S（t）； （2）讨论函数S（t）的单调性。

121解：(1)四边形OPQR是矩形.?0?t?,?1?2t?0.?点Q落在第一象限内（如图），2观察图形可得S（t）=S矩形OPQR?S?OAR，?S矩形OPQR?（21?t2）S?OAR?（）111OA?RB?（2t2?2）?2t22?2t3?2t（2）由（），（12）得S（t）=（21?t）-（2t?2t）1??2t3?2t2?2t?2，t?（0，）2/（2）S（t）=-6t2?4t?2，/???42?4（??6）?(-2)?16?48?0,?S（t）< 023Y Q

R B P A O X 1?函数在区间（0，）上为增函数。26、已知：函数（fx）= ax3?bx2?cx?d，若函数（fx）的图象C关于2原点中心对称，且在x?1时，（fx）有极小值-，3（）求函数（1fx）的解析式；4（2）证明：对一切的x1，x2?[?11]，，恒有（fx1）?（fx2）?成立；3（3）在图象C上是否存在一点P，使得过点P的切线与图象C除切点外不再有其他公共点。若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 解：（1）由条件可知f（x）是奇函数，

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?对任意的x?R，恒有f（-x）=-f（x），即-ax3?bx2?cx?d?-ax3?bx2?cx?d，

?2bx2?2d?0对任意的x?R恒成立，故b=d=0,?f/(x)?3ax2?c。21??2?a?c??13?a??f（x）在x=1时有极小值-，??3，解得?3?f（x）=x?x3?3??3a?c?0?c??1，1 (2)?f/(x)?x2?1,当x?[?11]，时，f/(x)?0，?f（x）=x3?x在[?11]，上322是减函数，当x=-1时，f（x）有最大值，当x=1时，f（x）有最小值-，332?当x?[?11]，时，f（x）?。3224因此对一切的x1，x2?[?11]，，有（fx1）?（fx2）?（fx1）?（fx2）???。333131x?x的图象C的一点，则b=a3?a，331?过点P的切线L的方程为y?（a3?a）（?a2?1)（x-a），3?13y=x?x??3由方程组?，消去y得1?y?（a3?a）（?a2?1)（x-a）??31311x?x?（a3?a）（?a2?1)（x-a）,即（x3?a3）?（x?a）（?a2?1)（x-a），3332变形得（x?a（)x2?ax?2a2）=0，即（x?a）（x?2a）?0（），1 (3)假设P(a，b）是函数y=要切线L与图象C仅有一个公共点，必须（）仅有一解，1?a=-2a，得a=0，?点P是唯一的，其坐标为（0，0）。经检验点P是唯一适合题意的点。

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三、三角函数 任意角的三角函数

1、角的概念的推广

按旋转方向不同产生正角、零角的负角； 按终过位置不同产生象限角和轴上角；

0

终与角α相同的角，可写成k2360+α（k∈Z）。

2、弧度角的定义：等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，可得1周角=2

0

π 180 0

π弧度，1=——弧度，1弧度=—— 。 0 180π

l

圆半径为r的圆心角α与所对弧长l关系为|α|=——。 r

3、任意角的三角函数定义：角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正向重合，终边上任

22

意一点P（x，y），点P到原点距离为r= x+y ，则

r x r π sinα=——，cosα=——， tanα=——（α≠kπ+——），

r r x 2

r r π x cosα=——（α≠kπ），secα=——（α≠kπ+——），cotα=——（α≠kπ）。 y x 2 y （以上k∈Z）

4、三角函数符号

第一象限 第二象限 tanα＞0 cotα＞0 其余负 第三象限 第四象限 cosα＞0 secα＞0 其余负 sinα＞0 全部正 cscα＞0 其余负 5、角三角函数的基本关系式（表中k∈Z） 倒数关系 sinα?cscα=1 (α≠kπ) cosα2secα=1 π （α≠kπ+——） 2 tanα2cotα=1 kπ （α≠——） 2

商数关系 sinα tanα=—— cosα π (α≠kπ+——) 2 cosα cotα=—— sinα （α≠kπ） π

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2平方关系 sinα+cosα=1 22 1+tanα=secα π （α≠kπ+——） 2 22 1+cotα=cscα （α≠kπ） 26、 诱导公式：若将公式中的角表示为k2—— +α（k∈Z），则可概括为“奇变偶不变， 2

符号看象限”这两句话，奇、偶指K值，不变指公式两边是同名函数，变指公式两边是互余函数，符号指原角所在象限的三角函数的符号，例如 sinα(k=4n)， cosα（k=4n+1）, kπ

sin（——+α）= －sinα（k=4n+2），

2 －cosα（k=4n+3）

－sinα(k=4n)， cosα（k=4n+1）, kπ

sin（——－α）= sinα（k=4n+2），

2 －cosα（k=4n+3）

以上n∈Ｚ，其余公式相同。

2.2三角函数的图象和性质 1、三角函数的图象和性质如下

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函数 图 象 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域 x∈R 值域 |y|≤1 奇偶性 奇 T=2π 周期性 单调 区间 极值 增函数区间 π π （2kx——，2kπ+ —） 2 2 减函数区间 π 3π （2kπ+—，2kπ+ —） 2 2 k∈Z 当x?2k??ymax=1; 当x?2k??ymin=-1. k?Z 对称轴: ?x?k?? 2对称性 对称中心: (kπ,0) k?Z 2.3两角和与差的三角函数:

sin(?+?)=sin?cos?+cos?sin? x∈R |y|≤1 偶 T=2π 减函数区间 （2kx，2kx+π） 增函数区间 （2kπ-π，2kπ） k∈Z π x≠kπ+—— 2 （k∈Z） x∈R y∈R 奇 T=π x≠kπ （k∈Z） x∈R y∈R 奇 T=π 增函数区间 π 减函数区（kπ-—，kπ+ 间 2 π （kπ，kπ—) 2 +π） k∈Z k∈Z 无 无 ?时 2?时 2当x?2k?时 ymax=1; 当x?2k???时 ymin=-1. k?Z 对称轴: x?k? 对称中心: ??k?Z ?0??k??，?2?对称中心: (kπ,0) k?Z 对称中心: ?k??0??，2??k?Z 15

cos(?+?)=cos?cos?-sin?sin? 两式相除 sin(?-?)=sin?cos?-cos?sin? cos(?-?)=cos?cos?+sin?sin?

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