一、集合与简易逻辑 1.1 集合的概念
1、集合中的元素的特征：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性的特征，其中互异性常常容易疏忽，在今后解题时应注意。
2、集合的表示法有三种：列举法、描述法、文氏图法，使用哪种方法要根据各表示法的优点及具体问题而定。
3、元素与集合的关系：一个元素x与一个集合A之间的关系为x∈A或x?A. 确定元素和集合的关系时，关键是确定元素是否具有集合的元素必须具备的属性。 1.2 集合的运算
1、理解集合中交集、并集、补集、全集的概念。
集合的运算，就其实质来说是逻辑关系的运算（且、或、非）。因此在进行集合运算时，应着眼于“关系”自身，而无需顾及元素的具体属性。
2、用文氏图认识集合间的包含关系和交、并、补关系。
3、掌握求交集、并集、补集的方法，这些运算可借助于画数轴或画文氏图进行直接观察。
1.3逻辑联结词和四种命题
1、命题 可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词 “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词。 或：两个简单命题至少一个成立。 且：两个简单命题都成立。 非：对一个命题的否定。
3、真值表 表示命题真假的表叫做真值表。
① 非p形式复合 ②p且q形式复合命题 ③p或q形式复合命题 命题真值表 真值表 真值表 p 真 假 非p 假 真 p 真 真 q 真 假 P且q 真 假 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 P或q 真 真 真 假 假 真 假 假 假 假
4、正面叙述的词语和它的否定词语： 正面词语 否定词语 等于 大于 至少有一个 都是 不等于 不大于 一个也没有 任意的 任意两个 至多有n个 某二个 至少有n+1个 不都是 某个 1.4 四种命题 原命题为真，它的逆命题不一定为真。
原命题为真，它的否命题不一定为真。 原命题为真，它的逆否命题一定为真。
1
原命题的逆命题为真，它的否命题一定为真。
1.5 充要条件 如果p成立则q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。如果p成立则q成立，且若q成立则p成立。则p是q的充分必要条件。 二、函数
2.1 映射与函数 1、对于映射f : A→B，允许B中的元素没有原像，但A的每一元素在B中必须有惟一的象，于是A中不同的元素，在B中可以有相同的象。
2、函数是一种特殊的映射f: A→B，需满足：A、B都是非空的数集，其象的集合C是B的子集。
3、构成函数的三要素是，最重要的是定义域和对应法则，值域则由定义域和对应法则确定。
4、求函数f (x)的解析式常用的方法
(1) 如果已知函数式较简单时，可用直接法求解；
(2) 如果已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法求解，但要注意在换元时引起
的定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域； (3) 如果已知函数的一般形式时，可用待定系数法求解。 除此之外，还有消元法、递推法等。 2.2函数的定义域
1、熟练掌握基本初等函数的定义域，如分式函数、无理函数、对数函数、三角函数是求函数定义域的基础；
2、由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合实际问题的要求； 3、对于含有字母参数的函数，求其定义域，必须注意对字母参数的分类讨论；
4、对于复合函数求定义域问题，其一般步骤是：若已知f（x）的定义域为[a,b]，其复合函数f[g（x）]的定义域应由不等式a≤g（x）≤b解出即得；
5、定义域应该用集合或区间表示。 2.3函数的值域
求函数的值域是一个较复杂的问题，也是很重要的问题（因为它和求函数的最值紧密相连），历届高考题中经常出现，应引起重视。
1、因为函数的定义域与对应法则直接制约着函数的值域，所以有些较简单问题可通观察法得出。
2、求值域时，二次函数用配方法，分子、分母是一次函数的有理函数用反函数法，分子、分母中有二次项的有理函数可用判别式法，无理函数可用换无法（包括三角代换），以上诸法均无效时可考虑函数的单调性，运用函数的定义域也可得值域，或利用某些已知函数的值域，通过解不等式得到函数的值域。
3、在利用配方法、判别式法及基本不等式法求值域时，一定要注意等号是否成立，必要时要注明“=”号成立的条件。 2.4函数的奇偶性
1、 深刻理解奇（偶）函数的定义。
2
当x是定义域内任一数值时，－x也必须在定义域内。因此，判断函数的奇偶性， 首先看定义域是否关于原点对称，再看f（－x）与f（x）或－f（x）是否相等。
2、 牢记奇（偶）函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性。
3、 判断函数的奇偶性，有时需将函数化简整理，但必须注意使定义域不受影响。
f（x）
4、 判断奇偶性有时可用定义的等价形式：f（x）±f（－x）=0或——— =±1来代替。
f（－x）
2.5函数的单调性
1、讨论函数的单调性必须在定义域内进行，即函数的增减区间是其定义域的子集，因此讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域。
2、根据定义讨论（或证明）函数增减性的一般步骤是 （1） 设x1，x2是给定区间内的两个值且x1＜x2； （2） 作差f（x1）－f（x2），并将此差变形；
（3） 判断f（x1）－f（x2）的正负，从而证得增减性。
3、研究函数单调性时，常将函数变形化简，转化成讨论一些基本函数的单调性。 4、求复合函数y=f[g（x）]单调区间的步骤是 （1） 确定定义域；
（2） 将复合函数分解成基本初等函数；
y=f（u），u=g（x）；
（3） 分别确定这两个函数的单调区间； （4） 若这两个函数同增或同减，则y=f[(x)]为增函数；若一增一减，则y=f[g（x）] 为减函数。 2.6反函数
1、在函数y=f（x）（x∈A，y∈B）中，当y取B中任一确定的值时，如果x在A中都有惟一确定的值与之对应，这样的函数才有反函数，特别地，定义域上的单调函数一定有反函数。
2、反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此，求反函数的定义域，可求原函数的值域。
3、定义域为非零的偶函数一定无反函数，奇函数如果存在反函数，其反函数一定是奇函数。
4、求反函数的步骤
－1
（1） 由y=f（x），解出x=f（y）；
（2） 确定y的范围（一般由原函数值域得到）得反函数的定义域；
－1
（3） 对换x，y得反函数y=f（x），注明定义域。
5、 函数与其反函数对应关系的可逆性，图象关于y=x的对称性，常常可以简化 运算过程。 2.7二次函数
1、二次函数求最值问题
2
首先要采用配方法，化为y=a（x+m）+n的形式，得顶点（－m、n）或对称轴方程x=
3
－m，可分成3个类型：
（1） 顶点固定，区间也固定； （2） 顶点含参数（即顶点变动），区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之 内，何时在区间之外；
（3） 顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数。 2、二次方程实数根的分布问题
2
（1）如在区间（m、n）内方程f（x）=ax+bx＋c＝０（a＞０）有两个实数根，利用 草图，采用数形结合的方法得出
` △≥0， f（m）＞0， f（n）＞0， b m＜— —— ＜n 2a
（2）如在（m，n）内有且只有一个实数解，需满足 f(m)=0， f（m）＞0， f（m）f（n）＜0或 f（n）＞0， 或 f（n）=0 b b m＜— ——＜n， m＜— ——＜n
2a 2a 2.8指数函数与对数函数
1、同底指数函数与对数函数，二者互为反函数，因此 ，图象关于直线y=x对称，它们在各自的定义域内增减性是一致的，即a ＞1时都为增函数，0＜a＜1时都为减函数。
函数 指数函数 x y=a图象 a>1 Y O Y O 01时,为增函数: 3.当01时,为增函数. 3.当0
1、解指数方程与对数方程的基本方法有3种；同底法、转化法、换元法。
2、在解方程过程中要尽量做到同解变形，避免非同解变形，在不可避免时要心中有数；解方程过程中从哪一步以后是非同解变形（是扩大了未知数的取值范围还是缩小了未知数
4
的取值范围），是可能产生增根，还是失根，增根应剔除，失根应根据失根的原因及时追回。 2.10导数及应用
/
1、定义 函数y=f（x）的导数f（x），就是当△x→О时，函数的增量△y与自变量的增量△x的比
?y的极限，即f?x/?yf?x??x??f?x? ?x???lim?limx?0?x?0?x?x 函数y=f（x）在x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0，f
（x0））处的切线的斜率。
/
2、应用 （1） 当函数y=f（x）在某个区间内可导时，如果f （x）>0，则f（x）
/
为增函数；如果f （x）<0，则f（x）为减函数。
（2）设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都有 f（x）
（3）可导函数在极值点处的导数为0。
3、函数f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的求法
求f（x）在（a，b）内的极值；将f（x）的各极值与f（a），f（b）比较，
其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 函数习题 一、选择题
2
1、设M={y|y=3-x，y?N}则使B?M的所有集合B的个数是（ ） A 4 B 8 C 16 D 无数个
x
2、函数f(2)的定义域是[-1，1]，则y=f(log2x)的定义域是( )
A [-1,1] B [1/2,2] C [2,4] D [1,4]
2、已知集合A、B、C满足A?B=A?C，则下列各式一定成立的是（ ）
A A?B=A?C B B=C C A?(C?B)=A?(C?C) D C?(A?B)=( A?B )?B
3、已知集合A={1，2，3}，B={-1，0，1}，满足条件f(3)=f(1)+f(2)的映射f:A→B的个数是
A.2 B.4 C.6 D.7?
4、如果命题“ (p或q)”为假命题，则
A．p、q均为真命题 B．p、q均为假命题
C．p、q中至少有一个为真命题 D．p、q中至多有一个为真命题 5、函数f（x）＝log1(?x?3x?2)的减区间是 （ ）
22
（A）（—∞，1） （B）（2，＋∞） （C）?1,? （D）?,2?
22?3????3??? 5
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