自动控制原理教案-自控学习与解题指导1(6)

系统是一阶的。动态性能指标为

td?0.69(T?bK)tr?2.2(T?bK) ts?3(T?bK)因此，b的取值大将会使阶跃响应的延迟时间、上升时间和调节时间都加长。

解毕。

例 3-12 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3-34所示。试确定系统的传递函数。

h(t) 4 3

0

0.1 t

图3-34 二阶控制系统的单位阶跃响应

解 首先明显看出，在单位阶跃作用下响应的稳态值为3，故此系统的增益不是

1，而是3。系统模型为

3?n222n?(s)?s?2??ns??

然后由响应的Mp%、tp及相应公式，即可换算出?、?n。

KMp%?c(tp)?c(?)c(?)Ts?1?4?33?33%

bs

tp?0.1（s）

由公式得

???/1??2Mp%?e?33%

tp???n1??2?0.1

26

换算求解得： ??0.33、 ?n?33.2解毕。

例3-13 设系统如图3-35所示。如果要求系统的超调量等于15%，峰值时间等于0.8s，试确定增益K1和速度反馈系数Kt 。同时，确定在此K1和Kt数值下系统的延迟时间、上升时间和调节时间。

R(s)

K1s(s?1)

C(s)

1+Kts

图3-35

解 由图示得闭环特征方程为

s?(1?K1Kt)s?K1?0

2即

K1??，?t?2n1?Kt?n2?n2

由已知条件

Mp%?etp????t/1??t2?0.15??n1??2t?0.8

解得

?t?0.517,?n?4.588s?1

于是

K1?21.05 Kt?2?t?nK12?1?0.178

td?1?0.6?t?0.2?t?n?0.297s

tr?????n1??2t???arccos?t?n1??2t?0.538s

27

ts?3.5?t?n?1.476s

解毕。

例3-14 设控制系统如图3-36所示。试设计反馈通道传递函数H(s)，使系统阻尼比提高到希望的ξ

1

值，但保持增益K及自然频率ωn不变。

R(s)

22K?nC(s)

2s?2??ns??n

H(s)

图3-36 例3-14 控制系统结构图

解 由图得闭环传递函数

K?ns?2??ns??22n2?(s)??K?H(s)2n

在题意要求下，应取 H(s)?Kts 此时，闭环特征方程为：

s?(2??KKt?n)?ns??n?0

22令： 2??KKt?n?2?1，解出，Kt?2(?1??)/K?n

故反馈通道传递函数为：

2(?1??)sK?nH(s)?

解毕。

例3-15 系统特征方程为

s?30s?20s?10s?5s?20?0

65432试判断系统的稳定性。

解 特征式各项系数均大于零，是保证系统稳定的必要条件。上述方程中s一次项的系数为零，故系统肯定不稳定。解毕。

例3-16 已知系统特征方程式为

s?8s?18s?16s?5?0

432试用劳斯判据判断系统的稳定情况。

解 劳斯表为

28

4s 1 18 5 3s 8 16 0 2s 8?18?1?16816?16?8?51613.5?16 8?5?1?08?5 1s ?13.5 0 ?5

s

013.5?5?16?0由于特征方程式中所有系数均为正值，且劳斯行列表左端第一列的所有项均具有正号，满足系统稳定的充分和必要条件，所以系统是稳定的。解毕。

例3-17 已知系统特征方程为

s?s?2s?2s?3s?5?0

5432试判断系统稳定性。

解 本例是应用劳斯判据判断系统稳定性的一种特殊情况。如果在劳斯行列表中某一行的第一列项等于零，但其余各项不等于零或没有，这时可用一个很小的正数ε来代替为零的一项，从而可使劳斯行列表继续算下去。 劳斯行列式为

s 1 2 3 s 1 2 5

3s ??0 ?2 45s s

0122??2? 5

2?4??4?5?2??2

s 5

由劳斯行列表可见，第三行第一列系数为零，可用一个很小的正数ε来代替；第四行第一列系数为（2ε+2/ε，当ε趋于零时为正数；第五行第一列系数为（－4ε－4－5ε2）/（2ε+2），当ε趋于零时为?2。由于第一列变号两次，故有两个根在右半s平面，所以系统是不稳定的。

解毕。

例3-18 已知系统特征方程为

s?2s?8s?12s?20s?16s?16?0

65432试求：（1）在s右半平面的根的个数；（2）虚根。

解 如果劳斯行列表中某一行所有系数都等于零，则表明在根平面内存在对原点对称的实根，共轭虚根或（和）共轭复数根。此时，可利用上一行的系数构成辅助多项式，并对辅助多项式求导，将导数的系数构成新行，以代替全部为零的一行，继续

29

计算劳斯行列表。对原点对称的根可由辅助方程（令辅助多项式等于零）求得。 劳斯行列表为

6s 1 8 20 16 5s 2 12 16 4s 2 12 16 3s 0 0

由于s3行中各项系数全为零，于是可利用s4行中的系数构成辅助多项式，即

P(s)?2s?12s?16

42求辅助多项式对s的导数，得

dP(s)s?8s?24s

3原劳斯行列表中s3行各项，用上述方程式的系数，即8和24代替。此时，劳斯行列表变为

s6 1 8 20 s5 2 12 16

s 2 12 16 s 8 24 s 6 16 s 2.67 s 16

01234新劳斯行列表中第一列没有变号，所以没有根在右半平面。 对原点对称的根可解辅助方程求得。令

2s?12s?16?0

42得到

s??j2和s??j2

解毕。

例3-19 单位反馈控制系统的开环传递函数为

G(s)?Ks(as?1)(bs2?cs?1)

试求： （1）位置误差系数，速度误差系数和加速度误差系数；

（2）当参考输入为r?1(t)，rt?1(t)和rt?1(t)时系统的稳态误差。

解 根据误差系数公式，有

位置误差系数为

Kp2?limG(s)?lims?0Ks(as?1)(bs30

2s?0?cs?1)??

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