自动控制原理教案-自控学习与解题指导1(5)

表2-1 相似量 机械系统 电气系统

例2-11 RC网络如图2-16所示，其中u1为网络输入量，u2为网络输出量。 （1）画出网络结构图； （2）求传递函数U2(s)/ U1(s)。 解：（1） 用复阻抗写出原始方程组。 输入回路 输出回路 中间回路

U1?R1I1?(I1?I2)1C2s1C2sxi ei x0 e0 y ec2 F i F1 i F2 i K1 1/R 1/K2 R f1 C1 f2 C2

图2-16 RC网络

U2?R2I2?(I1?I2)1C1sI1R1?(R2?)?I2

（3）整理成因果关系式。

I1?1?1??U1?(I1?I2)?R1?C2s?

??C1sI2?I1R1???R2C1s?1?

1U2?R2I2?(I1?I2)C2s

即可画出结构图如图2-17 所示。

图2-17 网络结构图

（4） 用梅逊公式求出：

U2U1?G1?1?G2?2?G3?3?

C1sR2C1s?111?R1C2s?C1s1R1C2sR2C1s?1C2s?2?1C1s?R2

1??R2C1s?1C2s?R1R2C1C2sR1R2C1C2s2?(R1?R2)C1s?1?(R1C2?R2C1?R1C1)s?1

21

例2-12 已知系统的信号流图如图2-18所示，试求传递函数C(s)/ R(s)。

图2-18 信号流图

解： 单独回路4个，即

?L?La??G1?G2?G3?G1G2

两个互不接触的回路有4组，即

bLc?G1G2?G1G3?G2G3?G1G2G3

三个互不接触的回路有1组，即

?L于是，得特征式为

??1?dLeLf??G1G2G3

?L??LabLc??LdLeLf

?1?G1?G2?G3?2G1G2?G1G3?G2G3?2G1G2G3从源点R到阱节点C的前向通路共有4条，其前向通路总增益以及余因子式分别为

P1?G1G2G3KP2?G2G3KP3?G1G3K ?1?1

?2?1?G1 ?3?1?G2

?4?1

P4??G1G2G3K因此，传递函数为

C(s)R(s)?P1?1?P2?2?P3?3?P4?4??

G2G3K(1?G1)?G1G3K(1?G2)1?G1?G2?G3?2G1G2?G1G3?G2G3?2G1G2G3 22

第三章自控系统的时域分析

1． 基本要求

通过本章的学习，希望能够做到：

（1）正确理解时域响应的性能指标（Mp、tr、td、tp、ess等）、稳定性、系统的型别和静态误差系数等概念。

（2）牢固掌握一阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算其性能指标和结构参数。

（3）牢固掌握二阶系统的各种数学模型和阶跃响应的特点，并能熟练计算其欠阻尼时域性能指标和结构参数。

（4）正确理解线性定常系统的稳定条件，熟练地应用劳斯判据判定系统的稳定性。 （5）正确理解和重视稳态误差的定义并能熟练掌握essr、essn的计算方法。明确终值定理的使用条件。

（6）掌握改善系统动态性能及提高系统控制精度的措施。

2． 内容提要

（1） 时域分析法是通过直接求解系统在典型输入信号作用下的时间响应，来分析控制系统的稳定性和控制系统的动态性能及稳态性能。工程上常用单位阶跃响应的超调量、调节时间和稳态误差等性能指标评价系统的优劣。

许多自动控制系统，经过参数整定和调试，其动态特征往往近似于一阶或二阶系统。因此一、二阶系统的理论分析结果，常是高阶系统分析的基础。

（2）时域分析法的基本方法是拉氏变换法： 结构图 (s)]

（3） 时域分析

（i）一阶系统的时域分析

一阶系统的动态特性应用一阶微分方程描述。一阶系统只有一个结构参数，即其时间常数T。时间常数T反应了一阶系统的惯性大小或阻尼程度。一阶系统的性能由其时间常数T唯一决定。一阶系统的时间常数T，也可由实验曲线求出。

（ii）二阶系统的时域分析

二阶系统的性能分析，在自动控制理论中有着重要的地位。二阶系统含有两个结构参数，即阻尼比ξ和无阻尼振荡频率ωn。阻尼比ξ决定着二阶系统的响应模态。ξ = 0时，系统的响应为无阻尼响应；ξ =1时，系统的响应称为临界阻尼响应；ξ >1时，系统的响应是过阻尼的；0 < ξ < 1时，系统的响应为欠阻尼响应。欠阻尼工作状态下，合理选择阻尼比ξ的取值，可使系统具有令人满意的动态性能指标。其动态性能指标有Mp、tr、td、tp，ts，一方面可以从响应曲线上读取；二是它们与ξ、ωn有相应的关系，只要已知ξ、ωn，就能很容易求出动态性能指标。

（4）稳定性分析

控制系统是否稳定，是决定其能否正常工作的前提条件。任何不稳定的系统，在工程上都是毫无使用价值的。稳定，是指系统受到扰动偏离原来的

23

?(s)?C(s)R(s) C (s) = ?(s)R (s) c (t) = L-1[C

平衡状态后，去掉扰动，系统仍能恢复到原工作状态的能力。应当特别注意，线性系统的这种稳定性只取决于系统内部的结构及参数，而与初始条件和外作用的大小及形式无关。

线性系统稳定的充分必要条件是：系统的所有闭环特征根都具有负的实部，或闭环特征根都分布在左半s平面。

判别系统的稳定性，最直接的方法是求出系统的全部闭环特征根。但是求解高阶特征方程的根是非常困难的。工程上，一般均采用间接方法判别系统的稳定性。劳斯判据是最常用的一种间接判别系统稳定性的代数稳定判据。

应用闭环特征方程各项的系数列写劳斯表，劳斯表各行第一列元的符号变化次数，即为系统闭环不稳定的根的个数。应用劳斯判据时，应注意两种特殊情况下，劳斯表的列写方法。

劳斯判据也可用来确定系统稳定工作时，或系统的闭环极点分布在某一特殊范围时，系统结构参数的允许变化范围。

系统闭环特征多项式各项同号且不缺项，是系统稳定的必要条件（注意不是充分条件）。

（5）稳态误差

稳态误差是系统很重要的性能指标，它标志着系统最终可能达到的控制精度。稳态误差定义为稳定系统误差信号的终值。稳态误差既和系统的结构及参数有关，也取决于外作用的形式及大小。

稳态误差可应用拉氏变换的终值定理计算，步骤如下：（1）判别系统的稳定性。只有对稳定的系统计算其稳态误差才有意义。（2）根据误差的定义求出系统误差的传递函数。（3）分别求出系统对给定和对扰动的误差函数。（4）用拉氏变换的终值定理计算系统的稳态误差。要注意，终值定理的使用条件为，误差的相函数在右半s平面及虚轴上（原点除外）解析。系统稳定是满足终值定理使用条件的前提。如果误差函数在右半s平面及虚轴上不解析，只能应用定义计算稳态误差。

对三种典型函数（阶跃、斜波、抛物线）及其组合外作用，也可利用静态误差系数和系统的型数计算稳态误差。

采用具有对给定或对扰动补偿的复合控制方案，理论上可以完全消除系统对给定或（和）扰动的误差，实现输出对给定的准确复现。但工程上常根据输入信号的形式实现给定无稳态误差的近似补偿。

解题示范

例3-1 系统的结构图如图3-1所示。

已知传递函数 G(s)?10/(0.2s?1)。 今欲采用加负反馈的办法，将过渡过程时间ts减小为原来的0.1倍，并保证总放大系数不变。试确定参数Kh和K0的数值。

解 首先求出系统的传递函数φ（s），并整理为标准式，然后与指标、参数的条

件对照。

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一阶系统的过渡过程时间ts与其时间常数成正比。根据要求，总传递函数应为

?(s)?即

C(s)R(s)10(0.2s/10?1)

?K0G(s)1?KHG(s)?10K00.2s?1?10KH

10K0 ?(1?10KH0.21?10KHs?1)??(s)

比较系数得

?10K0?10? ?1?10KH?1?10K?10H?解之得

KH?0.9、K0?10

解毕。

例3-10 某系统在输入信号r(t)=(1+t)1(t)作用下，测得输出响应为：

c(t)?(t?0.9)?0.9e?10t （t≥0）

已知初始条件为零，试求系统的传递函数?(s)。 解 因为

R(s)?1s?1s2?s?1s2

?10(s?1)s(s?10)2C(s)?L[c(t)]?1s2?0.9s?0.9s?10

故系统传递函数为

?(s)? 解毕。

C(s)R(s)?10.1s?1

例3-3 设控制系统如图3-2所示。

试分析参数b的取值对系统阶跃响应动态性能的影响。 解 由图得闭环传递函数为

?(s)?

K(T?bK)s?125

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