自动控制原理教案-自控学习与解题指导1(3)

解题示范

例2-1 弹簧，阻尼器串并联系统如图2-1示，系统为无质量模型，试建立系统的运动方程。 解：(1) 设输入为yr，输出为y0。弹簧与阻尼器并联平行移动。

(2) 列写原始方程式，由于无质量按受力平衡方程，各处任何时刻，均满足?F?0，则对于A点有

Ff?FK1?FK2?0

其中，Ff为阻尼摩擦力，FK1，FK2为弹性恢复力。 (3) 写中间变量关系式

Ff?f?d(yr?y0)dt

图2-1 机械位移系统

FK1?K1(Yr?Y0)FK2?K2y0

(4) 消中间变量得 f(5) 化标准形 T其中:T? K?5K1?K2K1K1?K2dy0dt?y0?Tdyrdt?Kyr

dyrdt?fdy0dt?K1yr?K1y0?K2y0

为时间常数，单位[秒]。

为传递函数，无量纲。

例2-2 已知单摆系统的运动如图2-2示。 (1) 写出运动方程式 (2) 求取线性化方程

解：（1）设输入外作用力为零，输出为摆角? ，摆球质量为m。 （2）由牛顿定律写原始方程。

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m(ld?dt22)??mgsin??h

其中，l为摆长，l? 为运动弧长，h为空气阻力。

（3）写中间变量关系式 h??(ld?dt) d?dt式中，α为空气阻力系数l为运动线速度。

图2-2 单摆运动

（4）消中间变量得运动方程式 mld?dt22?ald?dt?mgsin??0 （2-1)

此方程为二阶非线性齐次方程。

（5）线性化

由前可知，在? ＝0的附近，非线性函数sin? ≈? ，故代入式（2-1）可得线性化方程为

mld?dt22?ald?dt?mg??0

例2-3 已知机械旋转系统如图2-3所示，试列出系统运动方程。

解：（1）设输入量作用力矩Mf，输出为旋转角速度? 。 （2）列写运动方程式 Jd?dt??f??Mf

图2-3 机械旋转系统

式中， f?为阻尼力矩，其大小与转速成正比。

（3）整理成标准形为

Jd?dt?f??Mf

此为一阶线性微分方程，若输出变量改为?，则由于 ??代入方程得二阶线性微分方程式

J

d?dt

d?dt22?fd?dt?Mf

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例2-4 设有一个倒立摆安装在马达传动车上。如图2-4所示。

图2-4 倒立摆系统

倒立摆是不稳定的，如果没有适当的控制力作用在它上面，它将随时可能向任何方向倾倒，这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图2-65所示平面内运动。控制力u作用于小车上。假设摆杆的重心位于其几何中心A。试求该系统的运动方程式。

解：(1) 设输入为作用力u，输出为摆角? 。

(2) 写原始方程式，设摆杆重心A的坐标为（XA，yA）于是 XA＝X＋lsin? Xy = lcos?

画出系统隔离体受力图如图2－5所示。

图2-5 隔离体受力图

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摆杆围绕重心A点转动方程为： Jd?dt22?Vlsin??Hlcos? （2－2）

式中，J为摆杆围绕重心A的转动惯量。 摆杆重心A沿X轴方向运动方程为：

mdxAdt2222?H

即 mddt (x?lsin?)?H （2－3）

摆杆重心A沿y轴方向运动方程为： m即 小车沿x轴方向运动方程为：

Mdxdt22dyAdt2222?V?mg

mddt(lcos?)?V?mg

?u?H

方程（2－2），方程（2－3）为车载倒立摆系统运动方程组。因为含有sin? 和cos? 项，所以为非线性微分方程组。中间变量不易相消。

(3) 当? 很小时，可对方程组线性化，由sin? ≈?，同理可得到cos≈1则方程式(2－2)式（2－3）可用线性化方程表示为：

?d2??Vl??Hl?J2dt?2?d2xd??ml?H?m22?dtdt ?

0?V?mg?2?dx?u?H?M2dt?用S?2ddt22的算子符号将以上方程组写成代数形式，消掉中间变量V、H、X得

M?mmlJ)s??(M?m)g??u

2 (?Ml?将微分算子还原后得 (Ml?MJml?Jl)d?dt22?(M?m)gd?dt??u

此为二阶线性化偏量微分方程。

例2-5 RC无源网络电路图如图2－6所示，试采用复数阻抗法画出系统结构图，并求传递函数Uc(s)/Ur(s)。

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图2-6 RC无源网络

解：在线性电路的计算中，引入了复阻抗的概念，则电压、电流、复阻抗之间的关系，满足广义的欧姆定律。即：

U(s)I(s)?Z(s)

如果二端元件是电阻R、电容C或电感L，则复阻抗Z(s)分别是R、1/C s或L s 。

(1) 用复阻抗写电路方程式：

I1(S)?[Ur(S)?UC1(S)]?Uc1(S)?[I1(S)?I2(S)]?1R11C1s1R2

I2(S)?[Uc1(S)?Uc2(S)]Vc2(S)?I2(S)?1C2s(2) 将以上四式用方框图表示，并相互连接即得RC网络结构图，见图2－6（a）。 (3) 用结构图化简法求传递函数的过程见图2－6（c）、(d)、(e)。

（a）

（b）

（c） （ d） 图2-6 RC无源网络结构图

(4) 用梅逊公式直接由图2－6(b) 写出传递函数Uc(s)/Ur(s) 。

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