第19炼 利用函数证明数列不等式(4)

第三章 第19炼 利用函数证明数列不等式 导数

ln2?nx?（2）思路：观察到Fn?x??结构上与（2）中的h?x?很相似，而Sn?p?x??Snx?n3?实质上是Fn?1?x??Fn?2?x????Fn?p?x?，故考虑对每一项进行放缩使得求和具有规律

2xln?nx?性，结合h?x?的特点Fn?x?可写成Fn?x??2?（将nx视为整体），进而利用h?x?nnx单调性进行放缩 解：h?x??lnx??x2单调区间如下：

x h'?x? ?1??,1? ?e?? ? ?1,e? 2?e,??? 2? ? ? ? h?x? 22?x??e ?e,e?? ?nx???n,en???h?nx??h?e2??4 e2，而

ln2?nx?xln2?nx?x4142??x?e,e4??Fn?x???????（，进而放缩为??n2n3n2nxn2e2n2放缩为能够裂项求和的式子。）

1n2可

?Fn?x??411??1?4??4????n?2? 2nn?n?1??n?1n??Sn?p?x??Sn?x?=Fn?1?x??Fn?2?x????Fn?p?x?

?4??1111??11?4???+?=4???nn?p??n nn?1n?p?1n?p????2?e,e?Sn?x?在x????上是“高效”的

小炼有话说：

（1）此题中的第（2）问对第（3）问的函数构造提供了方便，对于证明数列不等式，同学要善于利用前面问题的条件与结论

（2）第（3）问的关键之处在于寻找Fn?x?与h?x?的联系，以及通过不等关系消x （3）求和时通项公式放缩的方向为构造具备裂项求和的数列，其中

1的放缩技巧如下： n2本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载

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111 而左右两边均可裂项求和 ?2?n?n?1?n?n?1?n例10： 已知函数f?x??ln?x?1??px （1）若f?x?在定义域内为减函数，求p的范围

3??114（2）若?an?满足a1?3,an?1??1??a?，试证明：n?2时，4?an?4e

?n2?n?1?2?n4n??解：（1）?f?x?为减函数 ?f'?x??1p??0 x??0,??? x?12x?????2x?2 ?p????1 ???1x?1???max??x??x?max?（2）思路：由（1）可得f?x??ln?x?1??x为减函数，进而f?x??f?0??0即

ln?x?1??x，所求是有关an的不等关系（①有e的指数幂，所以可能与自然对数相关，

②考虑数列的单调性），已知条件是递推数列，可尝试利用递推公式寻找不等关系求解。

??11a?解：?a1?3,an?1??1? ??n2?n?1?2?n4n?? ?an?1?an?1n2?n?1?a?2n1?0 ??an?单调递增 n4 a2??1+??1?1a??4 ?n?2时，an?an?1???a2?4 ?11?22?4?即an?4n?2,n?N

??

??11an?11111an?1??1?2a???1???1???22nn?122?n?n?1?2?n4na4a4nn?1nn?1????nn??（利用an?4进行放缩，消掉多余的an，由

1n2?n?1?2，联想到

1是可裂项的。再由f?x?n?n?1?本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载

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的特点决定两边同取对数）

?an?111? ?ln?ln?1?2?n+1? 2??an?n?n?1?4?由（1）可得f?x??ln?x?1?? ?lnx为减函数，进而f?x??f?0??0即ln?x?1??x an?11111????（再次利用不等关系去掉根式，且降低项的2n+1n?12an4nn?12??n?n?1?次数，进而不等号右侧可求和。 所用不等关系：a2?b2??a?b?2?2ab??a?b?2?a?b?a?0,b?0?）

?lna311a11a11?+3,ln4?+4?lnn??na22?32a33?42an?1?n?1?n2??1an?111????????????? a2?2?3n?n?1???232n?n?2?ln1??1?1?????118??2? ???12n1?2??n?1?31?????1??3

??4n?2?4333an??e4?an?4e4 ?4?an?4e4得证 a2小炼有话说：

（1）对付较复杂的题目，首先要把准备工作做好，在第三问中你可做的准备工作有这些： ①如果你计算了a2，也许就知道左边的4的来源进而决定进行数列单调性分析。 ②如果你观察了递推公式，便可发现

1n?n?1?22有可处理的地方

③如果你观察了所证不等式的右边，便会由e的指数幂联想到对数不等式

④如果利用第一问出个可用的不等式结论，也许你就发现了对数与根式的不等关系 这些准备工作不会直接得到答案，但是起码会给你提供一些方法和可选择的道路 （2）第三问依然用到了数列求和，有关消项的求和通常有两种，一种是相邻的项做差（累加法），另外一种就是相邻的项做商，此时利用对数即可将“累乘消项”转变为“累加消项”

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