第19炼 利用函数证明数列不等式

第三章 第19炼 利用函数证明数列不等式 导数

第19炼 利用函数证明数列不等式

利用函数证明不等式是在高考导数题中比较考验学生灵活运用知识的能力，一方面以函数为背景让学生探寻函数的性质，另一方面体现数列是特殊的函数，进而利用恒成立的不等式将没有规律的数列放缩为为有具体特征的数列，可谓一题多考，巧妙地将函数，数列，不等式连接在一起，也是近年来高考的热门题型。 一、基础知识： 1、考察类型：

（1）利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题 （2）利用递推公式处理通项公式中的不等问题 2、恒成立不等式的来源：

（1）函数的最值：在前面的章节中我们提到过最值的一个作用就是提供恒成立的不等式。 （2）恒成立问题的求解：此类题目往往会在前几问中进行铺垫，暗示数列放缩的方向。其中，有关恒成立问题的求解，参数范围内的值均可提供恒成立不等式 3、常见恒成立不等式：

x（1）lnx?x?1 对数→多项式 （2）e?x?1 指数→多项式

4、关于前n项和的放缩问题：求数列前n项公式往往要通过数列的通项公式来解决，高中阶段求和的方法有以下几种：

（1）倒序相加：通项公式具备第k项与第n?k?1项的和为常数的特点

（2）错位相减：通项公式为“等差?等比”的形式（例如an?n?2n，求和可用错位相减） （3）等比数列求和公式

（4）裂项相消：通项公式可裂为两项作差的形式，且an裂开的某项能够与后面项裂开的某项进行相消。

注：在放缩法处理数列求和不等式时，放缩为等比数列和能够裂项相消的数列的情况比较多见，故优先考虑。

5、大体思路：对于数列求和不等式，要谨记“求和看通项”，从通项公式入手，结合不等号方向考虑放缩成可求和的通项公式。

6、在放缩时要注意前几问的铺垫与提示，尤其是关于恒成立问题与最值问题所带来的恒成立不等式，往往提供了放缩数列的方向

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7、放缩通项公式有可能会进行多次，要注意放缩的方向：朝着可求和的通项公式进行靠拢（等比数列，裂项相消等）

8、数列不等式也可考虑利用数学归纳法进行证明（有时更容易发现所证不等式与题目条件的联系） 二、典型例题：

例1： 已知函数f?x??ln?x?a??x2?x在x?0处取得极值 （1）求实数a的值

（2）证明：对于任意的正整数n，不等式2?解：（1）f ?f''34n?1????2?ln(n?1)都成立 49n?x??1?2x?1 ?x?0为f?x?的极值点 x?a?0??1?1?0?a? 1a2（2）思路一：联想所证不等式与题目所给函数的联系，会发现在f?x??ln?x?1??x?xn?11?1?中，存在对数，且左边数列的通项公式an?2????也具备f?x?项的特征，所以

nn?n?考虑分析ln?x?1?与x?x的大小关系，然后与数列进行联系。

22解：下面求f?x??ln?x?1??x?x的单调区间

2' f?x??x?2x?3?1'?2x?1??,令f?x??0?x?0 x?1x?1x g'?x? ??1,0? ? ? ?0,+?? ? ? g?x? ?f?x??f?0??0即ln?x?1??x2?x（每一个函数的最值都会为我们提供一个恒成立的不等

式，不用白不用！观察刚好与所证不等式不等号方向一致）

1?n?1?n?1?1??1?1令x?，则ln??1?????即ln???2

nnnnnn??????23n?13n?1?ln?ln???ln?2????2

12n4n本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载

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即2?

34n?1????2?ln(n?1) 49nn?1n?1,b?ln），通过对应项nn2n小炼有话说：

（1）此不等式实质是两组数列求和后的大小关系（an?的大小关系决定求和式子的大小。此题在比较项的大小时关键是利用一个恰当的函数的最值，而这个函数往往由题目所给。另外有两点注意：①关注函数最值所产生的恒成立不等式 ②注意不等号的方向应该与所证不等式同向

（2）解决问题后便明白所证不等式为何右边只有一个对数，其实也是在作和，只是作和时对数合并成一项（与对数运算法则和真数的特点相关），所以今后遇到类似问题可猜想对数是经历怎样的过程化简来的，这往往就是思路的突破点

思路二：发现不等式两边均有含n的表达式，且一侧作和，所以考虑利用数学归纳法给予证明：

解：用数学归纳法证明：

① 当n?1时，不等式为2?ln2成立 ② 假设n?k?k?1?时，不等式成立（即2?当n?k?1时，若要证2?34k?1????2?ln(k?1)） 49k34k?1k?2????2??ln?k?2? 249k?k?1??2?34k?1????2?ln(k?1) 49k?只需证ln(k?1)?k?2?k?1?2?ln?k?2???k?1??1?lnk?2?ln?1?1?

??2k?1?k?1??k?1?2（下同思路一：分析f?x?的最值可得ln?x?1??x?x） 令x??k?1??1?ln?1?1?12，由恒成立不等式ln?x?1??x?x可得?? 2k?1k?1???k?1?34n?1????2?ln(n?1) 49n即所证不等式成立 ③ ??n?N，均有2??小炼有话说：利用数学归纳法证明要注意两点：（1）格式的书写 （2）要利用n?k所假设的条件

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例2： 已知函数f?x??ax2?ln?x?1? （1）当a??1时，求函数f?x?的单调区间 4（2）当x??0,???时，函数y?f(x)图像上的点都在?实数a的取值范围

?x?0所表示的平面区域内，求

y?x?0??2??4??8??2n???（3）求证：?1?（其中1?n?1?en?N,e??1???1????n???2?3??3?5??5?8???2?1??2?1??是自然对数的底数）

解：（1）常规解法，求出单调区间找最值 f?x???'12x?ln?x?1? 4?x?2??x?1?,令f'x?0求出单调区间如下：11x2?x?2 f?x???x???????2x?12?x?1?2?x?1?x f'?x? ??1,1? ? ? ?1,??? ? ? f?x? （2）解：?函数y?f(x)图像上的点都在?2?x?0区域内，

?y?x?02 ?条件等价于?x??0,???,ax?ln?x?1??x恒成立，即ax?ln?x?1??x?0 令g?x??ax?ln?x?1??x ?g?0??0

22ax2??2a?1?xx?2ax?2a?1?1?1?? g?x??2ax? x?1x?1x?1'令g?x??0?2ax?2a?1?0即2ax?1?2a

'?1??1??1?1?1?① a?0时， g???a???ln??1???ln??1??0 不符合题意

?a??a??a?a?a?（此时发现单调性并不能直接舍掉a早晚会随着

2?0的情况，但可估计函数值的趋势，而ax?xln?x?1?恒为正，

2x值的变大而为正数，所以必然不符合题意。在书写时可构造反例来说明，此题只需

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ax2?x?0即可，所以选择x?1a）

② a?0时，2ax?2a?1?0即g'?x??0 ?g?x?在?0,???单调递减 ?g?x??g?0??0，符合题意 综上所述：a?0

?2??4??8??2n???e，（3）思路：观察所证不等式?1?1?n?1??1???1????n??2?3??3?5??5?8???2?1??2?1???左边连乘，右边是e，可以想到利用两边取对数“化积为和”，同时利用第二问的结论。第

2二问给我们提供了恒成立的不等式，a?0时，ax?ln?x?1??x，取a?0，即

ln?x?1??x，则可与左边的求和找到联系。

??2?4?2n??解：所证不等式等价于ln?1?1?n?1??1 ??ln?1?????ln?n???2?3??3?5???2?1??2?1??2n由（2）可得ln?x?1??x，令x?n?1，即 n?2?1??2?1???2n2n1??1ln?1?n?1?=2??? n?1n??2?1??2n?1???2n?1?1??2n?1???2?12?1???（左边可看做是数列求和，利用结论将不等式左边的项进行放缩，转化成可求和的数列——裂项相消）

??2?2n11111? ??ln?1????ln1??21??????????????2n?1?1??2n?1??21?121?122?12n?1?12n?1??2?3???? ?2?1??1?n??1 22?1???不等式得证

小炼有话说：

（1）第二问中代数方法与数形结合方法的抉择（体会为什么放弃线性规划思路），以及如何将约束条件转变为恒成立问题

（2）对数运算的特点：化积为和。题目中没有关于乘积式的不等关系，于是决定变为和式 （3）利用上一问的结论放缩通项公式，将不可求和转变为可求和，进而解决问题 例3： 已知函数f(x)?x(1?alnx)(x?1)

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