第19炼 利用函数证明数列不等式(2)

第三章 第19炼 利用函数证明数列不等式 导数

（1）当a?0时，讨论g(x)?(x?1)2f??x?的单调性；

（2）当a?1时，若f(x)?n恒成立，求满足条件的正整数n的值； （3）求证：?1?1?2???1?2?3?????1?n?n?1???e'f解：（1）?x??2n?52.

ax?alnx?a?1?x?1?2

?g?x??ax?lan' g?x??a?x?a?1ax?1?a? xx 若g'?x??0?a?x?1??0

当a?0时，g?x?在?1，+??上单调递增 当a?0时，g?x?在?1，+??上单调递减 （2）思路：f?x??x?1?lnx?x?1?lnx??x?1?lnx???n，即n??不等式等价于?

x?1x?1x?1??min而在第（1）问中g?x?即为f'?x?的分子，故考虑利用g?x?来确定f'?x?的符号，进而求出f?x?的单调区间及最值 解：f'?x??x?lnx?2?x?1?2

?g?x??x?lnx?2，由（1）得g?x?单调递增 g?3??3?ln3?2?0,g(4)?4?ln4?2?0 ??b??3,4?,g?b??b?lnb?2?0(尽管无法直接求出

g?x?的零点，但可估计出

且1?x?2,g?x,x???,g?x??0，所以可估计零点的所在区间） ??0?x??1,b?,g?x??0;x??b,???,g?x??0 f?x?的单调区间如下：

x f'?x? f?x? ?1,b? ? ? ?b,??? + ? 本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载

第三章 第19炼 利用函数证明数列不等式 导数

?n?f?x?min?f?b???f?b??b?1?lnb? lnb?b?2

b?1b?b?1??b??3,4?

b?1?n??1,2,3?

（3）思路：由第（2）问得n??1,2,3?时，均有对数“化积为和”，再考虑利用结论进行放缩 解：所证不等式等价于：

x?1?lnx??n，所证不等式可两边同取

x?1ln?1?1?2??ln?1?2?3????ln??1?n?n?1????2n?5 2x?1?lnx?3?3?lnx?2? 由第（2）问可得：

x?1x?ln?1?n?n?1???2?n331??1?2??2?3???

1?n?n?1?n?n?1??nn?1?1?735?1 1?ii?1?ln3?2n?1?3?=2n?ln3???2n???ln??????????2n?12?2n?1?i?1即原不等式成立。

（如果从第一项就进行缩小，则

?ln??1?i?i?1????2n?3?1?n?1??2n?3?n?1，发现

??i?1n?1?3缩小过度但差距不大，所以进行调整，第一项不变，其余放缩。这样不仅减少缩小的尺度，同时不改变求和规律）

小炼有话说：这道题是对书中几篇文章所讲技巧的一个综合。所涉内容如下： （1）第二问中对零点x?b的处理，参见：3.1.3 最值分析法

（2）第三问中数列放缩后的调整值得注意，放缩的过程中有可能存在“放过头”的情况，往往是由于前几项放缩程度过大造成的（通常n越大，放缩的程度越小），所以考虑数列前几项不进行放缩，然后再看不等式能否成立，若一直都“过度”一点点，那么就要考虑是否另选放缩方案了。

例4：设函数f?x??x?aln?x?1?，其中a?R。:

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第三章 第19炼 利用函数证明数列不等式 导数

（1）当a?0时，讨论函数f(x)在其定义域上的单调性； （2）证明：对任意的正整数n，不等式ln?n?1??解析：

?11???2?3?都成立。

k?k?1?kna2x2?2x?a2?（1）f?x??2x?，令f'?x??0即解不等式2x?2x?a?0 x?1x?1'??4?8a

① ??0??1?a?0时 2方程2x?2x?a?0的两根x1?2?1?1?2a?1?1?2a，?1?x2?x1 ,x2?22?f?x?的单调区间为：

x f'?x? ???1?1?2a???1?1?2a?1?1?2a???1?1?2a?1,,,?? ?????? 2222??????? ? ? ? ? ? f?x? ② ??0?a??12时，2x?2x?a?0恒成立 ?f?x?在??1,???单调递增 22（2）考虑a?1时，则f?x??x?ln?x?1?

令h?x??x?f?x??x?x?ln?x?1?

3323x3??x?1?'?h?x???0在?0,???恒成立

x?12?h?x?在?0,???单调递增 h?x??h?0??0 ?ln?x?1??x2?x3，令x?1n?N?? ?n?1?11?n?1?11?ln?1???2?3?ln???2?3

nnnn????nnk?1n?11?ln???2?3? ?kk?k?1k?1?k本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载

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即：ln?n?1?????kk?1n?12?1? 3?k?例5：已知函数f(x)?x?ln(x?a)的最小值为0，其中a?0。 （1）求a的值

（2）若对任意的x?[0,??)，有f(x)?kx2成立，求实数k的最小值 （3）证明：

2?ln(2n?1)?2(n?N*) ?i?12i?11x?a?1?,定义域??a,??? x?ax?an解：（1）f令f''?x??1??x??0解得x?1?a，?f?x?的单调区间为：

x f'?x? ??a,1?a? ? ? ?1?a,??? ? ? f?x? ?f?x?min?f?1?a??1?a?0 ?a?1

（2）当k?0时，取x?1，有f(1)?1?ln2?0，故k?0不合题意。 当k?0时，令g(x)?f(x)?kx2，即g(x)?x?ln(x?1)?kx2。

x?x(2kx?(1?2k))1?2k?2kx???1 ，令g?(x)?0，得x1?0,x2?2kx?1x?111?2k?0,g?(x)?0在(0,??)上恒成立 当k?时，

22kg?(x)?因此g(x)在[0,??)上单调递减，

?对于任意的x?[0,??)，总有g(x)?g(0)?0，即f(x)?kx2在[0,??)上恒成立。

1

符合题意。 2

11?2k?0 当0?k?时，

22k1?2k1?2kx?(0,)，g?(x)?0，?g(x)在(0,)内单调递增，

2k2k1?2k2)时，g(x0)?g(0)?0，即f(x0)?kx0取x0?(0,不成立。 2k故k?

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11不合题意 ?k?

221综上，k的最小值为。

2112（3）由第（2）问可得：当k?时，不等式x?ln?x?1??x恒成立

222令x?

2i?1故0?k?22i?11?2?111?ln???2?? ??i?2,i?N? ?22i?12i?12?2i?1?2i?32i?1?2i?1?22i?1?11??2?111????ln?2?ln3?1??????????

2i?12i?13352n?32n?1???i?1?n22i?11即???ln?2?ln3?1??2

2i?12n?1i?12i?1i?1nn即

2?ln(2n?1)?2(n?N*) ?i?12i?1n例6： 已知函数f(x)?lnx?x?1,x??0,???,g(x)?x3?ax （1）求f(x)的最大值；

e?1??2??n?（2）证明不等式：???????????。

?n??n??n?e?1解：（1）f'nnn?x??x 11?x'?1?，令f?x??0?x?1，f?x?单调区间如下： xx?0,1? ? ? ?1,??? ? ? f'?x? f?x? ?ymax?f?1??0

?i?（2）思路：左边可看做数列求和，其通项公式为ai???，无法直接求和，所以考虑利

?n?用条件进行放缩，右边是分式，可以猜想是等比数列求和后的结果，所以将ai放缩为等比数列模型。由（1）可得lnx?x?1?0?lnx?x?1，令x?解：由（1）可得lnx?x?1?0?lnx?x?1

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