第19炼 利用函数证明数列不等式(3)

第三章 第19炼 利用函数证明数列不等式 导数

令x?

iiii?n，即ln??1? nnnnni?i? ?nln?i?n?ln???i?n（寻找n次方的来源）

n?n??i?i?n ????e

?n?1?nnnnnee?1?e?e1?n?12ne??????1?n2?nn?n ????????????e?e???e=??e?1e?1e?1?n??n??n?n?不等式得证

小炼有话说：此题的第（3）问将数列通项公式放缩为等比数列求和，如果不等式的一侧是一个分数，则可向等比数列求和的结果考虑（猜想公比与首项）。 例7：函数f(x)?sinx.

（1）若f(x)?1?ax?cosx在?0,??上恒成立，求实数a的取值范围；

（2）证明：f(2?(n?1)?32(n?1). )?f()?...?f()?2n?12n?12n?14(2n?1)

?（1）解：恒成立不等式等价于：ax?cosx?sinx?1?0，令g?x??ax?cosx?sinx?1??g?0??0?2???g????0?a? (注：在?0,??中这三个自变量的函数值最便于计算，进而选择代入）

?????g????0??2???y?ax?cosx?sinx?1可视为关于a的一次函数且递增

?令h?x??2?x?cosx?sinx?1 则对?a?2?,?x??0,??

g?x??h?x?恒成立。?若要g?x??0，只需h?x??0，下面进行证明： ?2?h?0??0,h????0,只需证?x?cosx?sinx?1??0即可

???maxh'?x??'???????sinx?cosx 考虑x??0,?时，sinx?cosx?2?x???1,2?

??4???2?2?从而 h?x??2??sinx?cosx?2??1?0 （注：导数无法求出极值点，故引入抽象的极值点x0,

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第三章 第19炼 利用函数证明数列不等式 导数

但要利用零点存在性定理估计x0所在区间）

????3?h'???0,h??2??4??3???x0??,?24?2?3?' ??0x????,??,?sinx?cosx?0?h?x??0

???4??'?,使得h?x0??0 ?且当x??0,x0?,h'?x??0;x??x0,??,h'?x??0

?h?x?在?0,x0?单调递减，在?x0,??单调递增 ?h?x?max?h?0??h????0 ?h?x??0恒成立 ?g?x??h?x??0,进而对每一个a?2?均满足 ?a?2（2）思路：将左边视为数列求和，其通项公式为ak?f(?k?

2n?1221?x?cosx恒成立，但如果直考虑利用前面条件对通项公式放缩：令a?，则sinx?)(注意左边是?n?1?项求和），

??接进行代入，不等号右边的cosx无法处理，进而无法与所证不等式的右边找到联系。考虑将cosx挪至左侧并与sinx合角，进而将三角函数放缩为多项式。再根据求和特点进行求和 解：由（2）可得：sinx?1?2?x?cosx?sinx?cosx?2?x?1

?2sin?x?????2??22? ?x?1?sinx??x????4??4??2?令x?4k???2n?1??

4?2n?1?24k???2n?1??2?k???k???sin???????2n?12n?1?42n?12??????2?4k?2n?1?2? 4?2n?1?2可得f?(注：通项公式为

???k???，而恒成立不等式中的三角函数为ak?sin?sinx????，所以令

4??2n?1??x??4?k?，反求x即可）

2n?1n?1?2?4k?2n?1?2?(n?1)?2?)?f()?...?f()???? ?f(???2n?12n?12n?142n?12??k?1???本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载

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?2?4k?2n?1?2????????4?2n?1?2?k?1?n?142??n?1??n?2??22?n?1??2n?1?4?2n?1??2?n?1? 2 =32(n?1)

4(2n?1)?f(2?(n?1)?32(n?1) )?f()?...?f()?2n?12n?12n?14(2n?1)?小炼有话说：

（1）关注本题第二问恒成立的求法（具体可参见3.3.3有关内容），在证明上需要极值点而无法直接求出时可先用抽象的x0代替，但要确定好x0所处的大概区间

（2）第三问对第二问的结论稍加变形（即将cosx与sinx进行合角，而不是直接代入f?x?)的应用是本题的一大亮点。方程，不等式的变形目的是将条件与结论能够连接起来，所以构造时要关注所求不等式的结构特点。

（3）第三问不等式的左边有两个细节：第一个是左边求和的项数是?n?1?项，第二个在

f(n?)中，同一个n所代表的含义不同。分母每一项都是?2n?1?,n与项数相关。给2n?1n?)，同一个n在分子分母中扮演的角色不同。所以在写2n?1定一个n，数列项的分母就固定了。而分子的n代表的是序数，可发现数列中分子是在不断变化的，从1变到n?1,在f(通项公式时，引入了字母k用来区分序数与项数。

f?x??例8：定义：若y?在?k,???上为增函数，则称f?x?为“k次比增函数”，其中k?N，kx已知f?x??e:

ax（1）当a?f?x?1时，求函数g?x??在?m,m?1??m?0?上的最小值 2x（2）求证：

11??e??11x212??e?2?3?1?e?3???n?1?e?n?7 2e1xx111x22xe?e2x?2ee??

解： （1）g?x?? ?g'?x??2?xx22x2本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载

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令g'?x??0解得x?2

?g?x?在?0,2?单调递减，在?2,+??单调递增

① m?2时，g?x?min?g?m??e me 2m2② m?2?m?1?1?m?2，g?x?min?g?2??③ m?1?2?m?1，g?x?min?g?m?1??m?12e m?1综上所述：g?x?min?m2?e,m?2?m?e???,1?m?2 ?2?m2+1?e,m?1?m?1?eee? ，即

2x21x2（2）由第（1）问可得：x??0,???时，g?x??g?2??1x2

所求和的通项公式为an?1n?e?n，由

ee

?可得： x2

??exxe??2x??enx2x2??exe1???x?21?exe??x?21?2， ex令x?n，可得：

?e?2n2121?2?? enen?n?1??1?1?e?1?2?1?e??3?1?e?3???n?1?e?n?1?211?1++?+?? 2e?22n2??1?1111???? ??1???

2e?42?33?4n?1n?????1?111111?111111?1????????????1????????2e?42?33?4n?1n??n?1?n?2e?42334本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载

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=

1?111?177?1??????? 2e?42n?2e42e例9：已知函数f?x??lnx x（1）设g?x??f?x?lnx?m，讨论函数g?x?在区间?,e2?上的零点个数

?1?e??ln2?nx?（2）记Fn?x??,Sn?x??F1?x??F2?x????Fn?x?,n?N*，若对任意正整数3np，Sn?p?x??Sn?x??4对任意x?D恒成立，则称Sn?x?在x?D上是“高效”的。n2?e,e试判断Sn?x?是否在x????上是“高效”的？若是，请给出证明，若不是，请说明理

由

解：（1）g?x? ?g?x? 设h?x??lnx??x2?m，令g?x?lnx??即?0x22?m

?lnx?的零点个数即为函数y?x与y?m交点的个数

?lnx??x22lnx?ln2x2'，h?x??，令h?x??0解得x??1,e? 2x' 单调区间如下：

x h'?x? h?x? ?1??,1? ?e?? ? ?1,e? 2? ? 4?1?h???e,h?1??0,h?e2??2，草图如下：

e?e??m?0或m?e时，g?x?无零点

m?0或 0?m?4?m?e，g?x?一个零点 e24，g?x?两个零点 e2本书由作者独家授权“学易书城”，其所含章节未经作者与学易书城同意不得随意转载

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