江西南昌第二中学2019届高三第三次月考数学（理）试题含答案(3)

2019届高三试题

当

且

仅

当

的最小值是．

18.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，

1．

AB?5，cos?ABC?5（1）若BC?4，求△ABC的面积S△ABC； （2）若D是边AC中点，且

7，求边BC的长． BD?2 【答案】（1）46；（2）4. 【解】（1）AB?5，cos?ABC?15，BC?4，又?ABC?(0,?)， 所以sin?ABC?1?cos2?ABC?265， ∴

S1?ABC?2BA?BC?sin?ABC?1262?5?4?5?46．

（2）以BA，BC为邻边作如图所示的平行四边形ABCE，如图， 则cos?BCE??cos?ABC??15，BE＝2BD＝7，CE＝AB＝5， 在△BCE中，由余弦定理：BE2?CB2?CE2?2CB?CE?cos?BCE． 即49?CB2?25?2?5?CB?(?1)，解得：CB＝4． B

5

19. 已知数列?an?的前n项和Sn满足Sn?2an?a1，且a1,a2?1,a3成等差数列.

11

B

A

2019届高三试题

（1）求数列?an?的通项公式；

2n1?1?（2）设bn?，求数列?bn?的前n项和Tn.【答】（1）an?2n（2）?1?n?1?

4?2?1?SnSn?1【解】（1）Sn?2an?a1，所以an?Sn?Sn?1?n?2?，即an?2an?1（n?2），即数列?an?是以2为公比的等比数列，又a1,a2?1,a3成等差数列，所以a1?a3?2?a2?1?，即a1?4a1?2?2a1?1?，解得a1?2，所以数列?an?的通项公式为an?2n. （2）由（1）得Sn?2n?1?2，

2n2n2n?n?1?所以bn?

SnSn?12?22n?2?242n?12n?1?1????????1?11???n?n?1?， 4?2?12?1?Tn?1??11??11???????2??234?2?12?12?12?1?????1??1?1??1??n?n?1????1?n?1? ?2?12?1??4?2?1?nx?20. 已知m?si??c?oxs,?3xc ons??cos,?x?sin?x,2sin?x? (??0)，若

?f?x???m，且nf?x?的图象相邻的对称轴间的距离不小于

?. 2（1）求?的取值范围.

（2）若当?取最大值时， f?A??1，且在ABC中， a,b,c分别是角A,B,C的对边，其面积

SABC（1）0???1（2）6 ?3，求ABC周长的最小值.【答案】

【解】（1）f?x??m?n??sin?x?cos?x???cos?x?sin?x??23cos?x?sin?x

?(cos2wx?sin2wx)?3sin2wx?cos2wx?3sin2wx?2sin(2wx?)

62???，所以0???1. 又由条件知2?（2）当?取最大值1时， f?A??2sin?2A?????????13?，又?12A???,?6?6?66??， ? 12

2019届高三试题

所以2A??6?5??，故A?.在ABC中， S632222ABC13?bcsinA?bc?3， ? bc?4又由余24弦定理有： a?b?c?2bccosA?b?c?4

?周长a?b?c?b2?c2?4?b?c?2bc?4?2bc?2?4?4?24?6

当且仅当b?c?2时取得等号.所以，

ABC周长的最小值为6.

3?1?,0?的距离大.

2?2?21. 已知动点P到定直线l:x??2的距离比到定点F?（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）过点D?2,0?的直线交轨迹C于A， B两点，直线OA， OB分别交直线l于点M， N，证明以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值，并求出此定值.【答案】（I）y?2x；（II）详见解析.

【解】（Ⅰ）设点P的坐标为?x,y?，因为定点F?2?1?,0?在定直线l： x??2的右侧，且动点P到?2?定直线l： x??2的距离比到定点F?23?1?,0?的距离大，

2?2?21?31?1??222所以x??2且?x???y?x?2?得?x???y?x?，即y?2x，

2?22?2??轨迹C的方程为y?2x．

2

2222（Ⅱ）设A2t1,2t1， B2t2,2t2（t1?t2?0），则DA?2t1?2,2t1， DB?2t2?2,2t2，22∵A， D， B三点共线，∴2t22t1?2?2t12t2?2，

????????????∴?t1?t2??t1t2?1??0，又t1?t2，∴t1t2??1，

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2019届高三试题

直线OA的方程为y???2?2?1x，令x??2，得M??2,??．同理可得M??2,??．

t2?t1t1???所以以MN为直径的圆的方程为?x?2??x?2???y???2??2?y?????0， t1??t2?即?x?2??y2?22t1?t24y??0．将t1t2??1代入上式得 t1t2t1t2?x?2?

2?y2?2?t1?t2?y?4?0，令y?0，即x?0或x??4，

故以MN为直径的圆被x轴截得的弦长为定值4．

22. 函数f?x??lnx?x?2ax?1.(a为常数）

2(1)讨论函数f?x?的单凋性；

(2)若存在x0??0,1,使得对任意的a???2,0,不等式2me为自然对数的底数）都成立，求实数m的取值范围．

??a?a?1??f?x0??a2?2a?4（其中

e

12x2?2ax?12【解析】（I）f'?x???2x?2a? (x?0)，记g?x??2x?2ax?1

xx（i）当a?0时x?0，所以g?x??1?0，函数f?x?在?0,???上单调递增； （ii）当0?a?2时，因为?4?a2?2??0，

所以g?x??0，函数f?x?在?0,???上单调递增；

?a?a2?2a?a2?2?x?0,（iii）当a?2时，由{，解得x???，

??g?x??022???a?a2?2a?a2?2?,所以函数f?x?在区间??上单调递减，

??22???a?a2?2??a?a2?2?,???上单调递增． 在区间?0,?,?????22????（II）由（I）知当a???2,0时，函数f?x?在区间?0,1上单调递增，

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??2019届高三试题

所以当x??0,1时，函数f?x?的最大值是f?1??2?2a，对任意的a???2,0， 都存在x0??0,1，使得不等式2me???a?a?1??f?x0??a2?2a?4成立，

a等价于对任意的a???2,0，不等式2me即对任意的a???2,0，不等式2me记h?a??2mea??a?1??f?x0?max?a2?2a?4都成立，

?a?a?1??a2?4a?2?0都成立，

?a?1??a2?4a?2，由h?0??0?2m?2?m?1，

h'?a??2mea?a?1??2mea?2a2?4a?2?a?2?mea?1，

由h'?a??0得a??2或a??lnm,因为a???2,0，所以2?a?2??0， ①当1?m?e时， ?lnm???2,0?，且a???2,?lnm?时， h'?a??0，

2???a???lnm,0?时， h'?a??0，所以h?a?min?h??lnm??lnm??2?lnm??0，

所以a???2,0时， h?a??0恒成立；

a?22②当m?e时， h'?a??2?a?2?e?1，因为a???2,0，所以h'?a??0，

????此时h?a?单调递增，且h??2??2ee2?2??1??4?8?2?0，

所以a???2,0时， h?a??h??2??0成立；

2③当m?e时， h??2???2?m?2?0， h?0??2m?2?0， e2所以存在a0???2,0?使得h?a0??0，因此h?a??0不恒成立． 综上，

m的取值范围是?1,e2??．

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