怀仁县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析(3)

精选高中模拟试卷

【解析】解：2∴2x﹣1=﹣2， 解得x=﹣，

2x﹣1

==2﹣2，

故答案为：﹣

【点评】本题考查了指数方程的解法，属于基础题．

18．【答案】 ①④⑤

【解析】解：由题意知：A≠

，B≠

，C≠

，且A+B+C=π

∴tan（A+B）=tan（π﹣C）=﹣tanC， 又∵tan（A+B）=

，

∴tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）=﹣tanC（1﹣tanAtanB）=﹣tanC+tanAtanBtanC， 即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故①正确； 当A=

，B=C=

时，tanA+tanB+tanC=

＜3

，故②错误；

若tanA，tanB，tanC中存在两个数互为倒数，则对应的两个内角互余，则第三个内角为直角，这与已知矛盾，故③错误；

3

由①，若tanA：tanB：tanC=1：2：3，则6tanA=6tanA，则tanA=1，故A=45°，故④正确；

当tanB﹣1=

，

时， tanA?tanB=tanA+tanB+tanC，即tanC= ，C=60°，

2

此时sinC=

sinA?sinB=sinA?sin=sinA?（120°﹣A）（cos2A=

sin（2A﹣30°）

≤

，

cosA+sinA）=sinAcosA+

sin2A=

sin2A+﹣

2

则sinC≥sinA?sinB．故⑤正确；

故答案为：①④⑤

【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了和角的正切公式，反证法，诱导公式等知识点，难度中档．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：方法一（综合法） （1）取OB中点E，连接ME，NE

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精选高中模拟试卷

∵ME∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD

又∵NE∥OC，∴平面MNE∥平面OCD∴MN∥平面OCD

（2）∵CD∥AB，∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角） 作AP⊥CD于P，连接MP ∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP ∵，∴

，

∴

所以AB与MD所成角的大小为．

（3）∵AB∥平面OCD，

∴点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP，过点A作AQ⊥OP于点Q， ∵AP⊥CD，OA⊥CD， ∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD．

又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离， ∵

，

，

∴，所以点B到平面OCD的距离为．

方法二（向量法）

作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系：A（0，0，0），B（1，0，0），，

O（0，0，2），M（0，0，1），

（1）

，

，

设平面OCD的法向量为n=（x，y，z），则

?

=0，

?

=0 第 12 页，共 16 页

，

，

精选高中模拟试卷

即取∵

?

，解得 =（

，

，﹣1）?（0，4，）=0，

∴MN∥平面OCD．

（2）设AB与MD所成的角为θ， ∵∴∴

，AB与MD所成角的大小为

， ． 在向量

=（0，4，

=

）上的投影的绝对值，

（3）设点B到平面OCD的距离为d，则d为由

所以点B到平面OCD的距离为

．

，得d=

【点评】培养学生利用多种方法解决数学问题的能力，考查学生利用空间向量求直线间的夹角和距离的能力．

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精选高中模拟试卷

20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）设M=则又

=4

==（﹣1）

，∴

=

① ，∴

；

②

由①②可得a=1，b=2，c=3，d=2，∴M=（Ⅱ）易知

5∴M

=0?+（﹣1）=

．

，

=（﹣1）6

【点评】本题考查矩阵的运算法则，考查学生的计算能力，比较基础．

21．【答案】

【解析】解：（1）f（x）=（log2x﹣2）（log4x﹣） =（log2x）2﹣log2x+1，2≤x≤4

2

令t=log2x，则y=t﹣t+1=（t﹣）2﹣，

∵2≤x≤4， ∴1≤t≤2．

当t=时，ymin=﹣，当t=1，或t=2时，ymax=0． ∴函数的值域是[﹣，0]．

2

（2）令t=log2x，得t﹣t+1＞mt对于2≤t≤4恒成立．

∴m＜t+﹣对于t∈[2，4]恒成立， 设g（t）=t+﹣，t∈[2，4]， ∴g（t）=t+﹣=（t+）﹣， ∵g（t）=t+﹣在[2，4]上为增函数， ∴当t=2时，g（t）min=g（2）=0， ∴m＜0．

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精选高中模拟试卷

22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d， 由

=4得

=4，

所以a2=3a1=3且d=a2﹣a1=2， 所以an=a1+（n﹣1）d=2n﹣1，

=

n1n1

（Ⅱ）由bn=an2﹣，得bn=（2n﹣1）2﹣． 12n1

所以Tn=1+32+52+…+（2n﹣1）2﹣ ①

2Tn=2+322+523+…+（2n﹣3）2n﹣1+（2n﹣1）2n ② ①﹣②得：﹣Tn=1+22+222+…+22n﹣1﹣（2n﹣1）2n =2（1+2+22+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）2n﹣1 =2×

n

﹣（2n﹣1）2﹣1

=2n（3﹣2n）﹣3．

n

∴Tn=（2n﹣3）2+3．

【点评】本题主要考查数列求和的错位相减，错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．此方法是数列求和部分高考考查的重点及热点．

23．【答案】

【解析】解：（1）令

…

∴f（x）的单增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）； 单减区间为（﹣2，0）．… （2）令

∴x=0和x=﹣2，… ∴

2

∴f（x）∈[0，2e]…

∴m＜0…

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精选高中模拟试卷

24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）依题意得，解得，

所以所求的椭圆方程为；

（Ⅱ）假设存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆后的右焦点F且与直线x﹣2y﹣2=0相切，

因为以AM为直径的圆C过点F，所以∠AFM=90°，即AF⊥AM， 又由

=﹣1，所以直线MF的方程为y=x﹣2， 消去y，得3x﹣8x=0，解得x=0或x=，

2

，

所以M（0，﹣2）或M（，），

22

（1）当M为（0，﹣2）时，以AM为直径的圆C为：x+y=4，

则圆心C到直线x﹣2y﹣2=0的距离为d=所以圆C与直线x﹣2y﹣2=0不相切；

=≠

=

=

，

（2）当M为（，）时，以AM为直径的圆心C为（

），半径为r=

=r，

所以圆心C到直线x﹣2y﹣2=0的距离为d=

所以圆心C与直线x﹣2y﹣2=0相切，此时kAF=

综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为x+2y﹣4=0．

，所以直线l的方程为y=﹣

+2，即x+2y﹣4=0，

【点评】本题考直线与圆锥曲线的关系、椭圆方程的求解，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论思想，解决探究型问题，往往先假设存在，由此推理，若符合题意，则存在，否则不存在．

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