高考数学选择题简捷解法专题[1](4)

跟田老师学数学

【解析】、由题目中出现的数字3、4、5是勾股数以及x的范围，直接意识到

343sinx??,cosx?，从而得到tanx??，选C 。

554【练习1】、如图，已知一个正三角形内接于一个边长为a的正三角形中， 问x取什么值时，内接正三角形的面积最小（ ）

A、

aaa3 B、 C、 D、a 2342（提示：显然小三角形的边长等于大三角形的边长之半时面积最小，选A。）

【练习2】、（课本题改编）测量某个零件直径的尺寸，得到10个数据：x1,x2,x3,?x10,如果用x作为该零件直径的近似值，当x取什么值时，(x?x1)2?(x?x2)2?(x?x3)2???(x?x10)2最小？（ ）

A、x1，因为第一次测量最可靠 B、x10，因为最后一次测量最可靠 C、

x1?x10x?x2?x3???x10，因为这两次测量最可靠 D、1 210（提示：若直觉好，直接选D。若直觉欠好，可以用退化策略，取两个数尝试便可以得到答

案了。） 【练习3】、若(1?2x)7?a0?a1x?a2x2???a7x7，则|a0|?|a1|?|a2|???|a7|?（ ）

A、-1 B、1 C、0 D、37

（提示：直觉法，系数取绝对值以后，其和会相当大，选D。或者退化判断法将7次改为1次；还有一个绝妙的主意：干脆把问题转化为:已知(1?2x)7?a0?a1x?a2x2???a7x7，求） a0?a1?a2???a7，这与原问题完全等价，此时令x?1得解。

【练习4】、已知a、b是不相等的两个正数，如果设p?(a?)(b?)，q?(ab?1a1b12)，abr?(a?b22?)，那么数值最大的一个是（ ） 2a?bA、p B、q C、r D、与a、b的值有关。

（提示：显然p、q、r都趋向于正无穷大，无法比较大小，选D。要注意，这里似乎是考核均值不等式，其实根本不具备条件——缺乏定值条件！）

【练习5】、（98高考）向高为H的水瓶中注水，注满为止。如果注水量V与水深h的函数关系如下列左图，那么水瓶的形状是（ ）。

O

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A B C D

（提示：抓住特殊位置进行直觉思维，可以取OH的中点，当高H为一半时，其体积过半，只有B符合，选B）

【练习6】、（07江西理7文11）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自不同的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图，盛满酒好他们约定：先各自饮杯中酒的一半。设剩余酒的高度从左到右依次为h1,h2,h3,h4,则它们的大小关系正确的是（ ）

A、h2?h1?h4 B、h1?h2?h3 C、h3?h2?h4 D、h2?h4?h1 （提示：选A）

【练习7】、（01年高考）过点A（1，-1）、B（-1，1）且圆心在直线x?y?2?0上的圆的方程是（ ）

A、(x?3)2?(y?1)2?4 B、(x?3)2?(y?1)2?4 C、(x?1)2?(y?1)2?4 D、(x?1)2?(y?1)2?4 （提示：显然只有点（1，1）在直线x?y?2?0上，选C） 【练习8】、（97全国理科）函数y?sin(A、

?3?2x)?cos2x的最小正周期是（ ）

? B、? C、2? D、4? 2（提示：因为总有asin?x?bcos?x?Asin(?x??)，所以函数y的周期只与?有关，这里??2，所以选B）

?x?0,?【练习9】、（97年高考）不等式组?3?x2?x的解集是（ ）

??3?x2?x?A、?x|0?x?2? B、?x|0?x?2.5? C、x|0?x??6 D、?x|0?x?3?

?

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（提示：直接解肯定是错误的策略；四个选项左端都是0，只有右端的值不同，在这四个值中会是哪一个呢？它必定是方程

3?x3?x?||的根！，代入验证：2不是，3不是， 2.5也不是，3?x3?x所以选C）

【练习10】、△ABC中，cosAcosBcosC的最大值是（ ）

A、

3113 B、 C、1 D、 882（提示：本题选自某一著名的数学期刊，作者提供了下列 “标准”解法，特抄录如下供读者

比较：

设y=cosAcosBcosC，则2y=[cos（A+B）+ cos（A-B）] cosC，

22

∴cosC- cos（A-B）cosC+2y=0，构造一元二次方程x- cos（A-B）x+2y=0，则cosC是一元

2

二次方程的根，由cosC是实数知：△= cos（A-B）-8y≥0， 即8y≤cos（A-B）≤1，∴y?2

1，故应选B。 8这就是“经典”的小题大作！事实上，由于三个角A、B、C的地位完全平等，直觉告诉我们：最大值必定在某一特殊角度取得，故只要令A=B=C=60゜即得答案B，这就是直觉法的威力，这也正是命题人的意图所在。）

【练习11】、（07浙江文8）甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据以往经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛中甲获胜的概率为（ ）

A、0.216 B、0.36 C、0.432 D、0.648 （提示：先看“标准”解法——甲获胜分两种情况：①甲：乙=2：0，其概率为0.6×0.6=0.36，

1②甲：乙=2：1，其概率为[C20.6?0.4]?0.6?0.288，所以甲获胜的概率为0.36+0.288=0.648，

选D。

现在再用直觉法来解：因为这种比赛没有平局，2人获胜的概率之和为1，而甲获胜的概率比乙大，应该超过0.5，只有选D。）

is【练习12】、n?ocs??42??，则tan??cot??（ ）

A、1 B、2 C、-1 D、-2 （提示：显然??，选B）

七、趋势判断

趋势判断法，包括极限判断法，连同估值法，大致可以归于直觉判断法一类。具体来讲，顾名思义，趋势判断法的要义是根据变化趋势来发现结果，要求化静为动，在运动中寻找规律，因此是一种较高层次的思维方法。

【例题】、（06年全国卷Ⅰ，11）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棍围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为多少？

A、85 cm B、610 cm C、355 cm D、20 cm

2

2

2

2

【解析】、此三角形的周长是定值20，当其高或底趋向于零时其形状趋向于一条直线，其面积趋向于零，可知，只有当三角形的形状趋向于最“饱满”时也就是形状接近于正三角形时面积

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最大，故三边长应该为7、7、6，因此易知最大面积为610cm，选B。）

【练习1】、在正n棱锥中，相邻两侧面所成二面角的平面角的取值范围是（ ） A、(2

n?2n?1n?2n?1??,?) ?,?) B、(?,?) C、(0,) D、(nnnn2（提示：进行极限分析，当顶点无限趋近于底面正多边形的中心时，相邻两侧面所成二面角

???，且???；当锥体h???且底面正多边形相对固定不变时，正n棱锥形状趋近于正n棱柱，??n?2n?2?,且???,选A） nn【练习2】、设四面体四个面的面积分别为它们的最大值为S，记???Si?14iS，则?一定满足

（ ）

A、2???4 B、3???4 C、2.5???4.5 D、3.5???5.5

（提示：进行极限分析，当某一顶点A无限趋近于对面时，S=S对面，不妨设S=S1，则S2+S3+S4?S1那么??2，选项中只有A符合，选A。当然，我们也可以进行特殊化处理：当四面体四个面的面积相等时，??4，凭直觉知道选A）

【练习3】、正四棱锥的相邻两侧面所成二面角的平面角为?，侧面与底面 所成角为则2cos??cos2?的值是（ ）

A、1 B、

?，

1 C、0 D、-1 2??（提示：进行极限分析，当四棱锥的高无限增大时，??90,??90,那么

2cos??cos2??2cos90??cos180???1，选D）

【练习4】、在△ABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c，若c-a等于AC边上的高，那么sinC?AC?A?cos的值是（ ） 2211A、1 B、 C、 D、-1

23?(提示：进行极限分析，??0时，点C??，此时高h?0,c?a，那么

?，所以sinC?180A,??0C?AC?A?cos?sin90??cos0??1，选A。） 22【练习5】、若0??????4,sin??cos??a,sin??cos??b,则（ ）

A、a?b B、a?b C、ab?1 D、ab?2

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（提示：进行极限分析，当??0时，a?1；当??

【练习6】、双曲线x2?y2?1的左焦点为F， 点P为左支下半支异于顶点的任意一点，则直 线PF的斜率的变化范围是（ ） A、 (??,0) B、(??,?1)?(1,??) C、(??,0)?(1,??) D、(1,??)

（提示：进行极限分析，当P??时，PF的斜率k?0；当PF?x时，斜率不存在，即k???或k???；当P在无穷远处时，PF的斜率k?1。选C。）

【练习7】、（06辽宁文11）与方程y?e2x?2ex?1(x?0)的曲线关于直线y?x对称的曲线方程为（ ）

A、y?ln(1?x) B、y?ln(1?x) C、y??ln(1??4时，b?2，从而b?a，选A）

x) D、y??ln(1?x)

（提示：用趋势判断法：显然已知曲线方程可以化为y?(ex?1)2(x?0)，是个增函数。再令x???,那么y???,那么根据反函数的定义，在正确选项中当y???时应该有x???,只有A符合。当然也可以用定义法解决，直接求出反函数与选项比较之。）

【练习8】、若sin??cos??1，则对任意实数n，sinn??cosn??（ ） A、1 B、区间（0，1） C、

1 D、不能确定 n?12（提示：用估值法，由条件sin??cos??1完全可以估计到sin?,cos?中必定有一个的值是1，另一个等于0，则选A。另外，当n=1，2时，答案也是1）

【练习9】、已知c?1，且x?c??1c，y?c?c?1，则x,y之间的大小关系是（ ）

A、x?y B、x?y C、x?y D、与c的值有关

（提示：此题解法较多，如分子有理化法，代值验证法，单调性法，但是用趋势判断法也不错：当c?1时，x?2?1；当x???时，x?0，可见函数t?1?t递减，∴选B）

八、估值判断

有些问题，属于比较大小或者确定位臵的问题，我们只要对数值进行估算，或者对位臵进行估计，就可以避免因为精确计算和严格推演而浪费时间。

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