跟田老师学数学
高考数学选择题简捷解法专题
前 言
高考数学选择题，知识覆盖面宽，概括性强，小巧灵活，有一定深度与综合性，而且分值大，能否迅速、准确地解答出来，成为全卷得分的关键。
选择题的解答思路不外乎两条：一是直接法，即从题干出发，探求结果，这类选择题通常用来考核考生最起码的基础知识和基本技能，这一般适用于题号在前1~6的题目；二是间接法，即从选项出发，或者将题干与选项联合考察而得到结果。因为选择题有备选项，又无须写出解答过程，因此存在一些特殊的解答方法，可以快速准确地得到结果，这就是间接法。这类选择题通常用来考核考生的思维品质，包括思维的广阔性和深刻性、独立性和批判性 、逻辑性和严谨性 、灵活性和敏捷性 以及创造性；同直接法相比，间接法所需要的时间可能是直接法的几分之一甚至几十分之一，是节约解题时间的重要手段。
然而，有相当一部分考生对于用间接手段解题并不放心，认为这样做“不可靠”，以至于在用间接法做过以后又用直接法再做一遍予以验证；甚至有思想不解放的，认为这样做“不道德”，而不明白这其实正是高考命题者的真实意图所在，高考正是利用选择题作为甄别不同层次思维能力的考生的一种重要手段。
解选择题常见的方法包括数形结合、特值代验、逻辑排除、逐一验证、等价转化、巧用定义、直觉判断、趋势判断、估计判断、退化判断、直接解答、现场操作，等等。考生应该有意识地积累一些经典题型，分门别类，经常玩味，以提高自己在这方面的能力。下面主要就间接法分别举例说明之，并配备足够的对应练习题，每题至少提供有一种解法。
例题与题组
一、数形结合
画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现，从而大大降低思维难度，是解决数学问题的有力策略，这种方法使用得非常之多。
【例题】、（07江苏6）设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x?1对称，且当x?1时，f(x)?3?1，则有（ ）。
x132231323323213321 C、f()?f()?f() D．f()?f()?f()
332233x【解析】、当x?1时，f(x)?3?1，f(x)的
A、f()?f()?f() B、f()?f()?f()
图象关于直线x?1对称，则图象如图所示。 这个图象是个示意图，事实上，就算画出
f(x)?|x?1|的图象代替它也可以。由图知，
符合要求的选项是B，
【练习1】、若P（2，-1）为圆(x?1)?y?25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（ ） A、x?y?3?0 B、2x?y?3?0 C、x?y?1?0 D、2x?y?5?0
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（提示：画出圆和过点P的直线，再看四条直线的斜率，即可知选A）
?x?y?2?0y?【练习2】、（07辽宁）已知变量x、y满足约束条件?x?1，则的取值范围是（ ）
x?x?y?7?0?A、?,6? B、???,???6,??? C、???,3???6,??? D、?3,6?
55?9?????9??（提示：把
y看作可行域内的点与原点所在直线的斜率，不难求得答案 ，选A。） x2【练习3】、曲线y?1?4?x(x???2,2?) 与直线y?k(x?2)?4有两个公共点时，
k的取值范围是（ ）
511A、(0,) B、(,)
1243553 C、(,??) D、(,)
12124（提示：事实上不难看出，曲线方程
2y?1?4?x(x???2?,2的)图象为
x2?(y?1)2?4(?2?x?2,1?y?3)，表示以（1，0）为圆心，2为半径的上半圆，如图。直
线y?k(x?2)?4过定点（2，4），那么斜率的范围就清楚了，选D）]
【练习4】、函数y?|x|(1?x)在区间 A上是增函数，则区间A是（ ）
A、???,0? B、?0,?
2 C、?0,??? D、?,???
（提示：作出该函数的图象如右，知应该选B）
【练习5】、曲线
?1??????1?2|x||y|??1与直线y?2x?m 23有两个交点，则m的取值范围是（ ）
A、m?4或m??4 B、?4?m?4 C、m?3或m??3 D、?3?m?3 （提示：作出曲线的图象如右，因为直线
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y?2x?m与其有两个交点，则m?4或m??4，选A）
【练习6】、（06湖南理8）设函数f(x)?x?a'，集合M??x|f(x)?0?，P??x|f(x)?0?，x?1若M?P，则实数a的取值范围是（ ）
A、(??,1) B、(0,1) C、(1,??) D、[1,??) （提示：数形结合，先画出f(x)的图象。f(x)?图象如左；当a?1时图象如右。
由图象知，当a?1时函数f(x)在(1,??)上递增，f'(x)?0，同时f(x)?0的解集为
x?ax?1?1?a1?a??1?。当a?1时，x?1x?1x?1(1,??)的真子集，选C）
【练习7】、（06湖南理10）若圆x2?y2?4x?4y?10?0上至少有三个不同的点到直线
l:ax?by?0的距离为22，则直线l的倾斜角?的取值范围是（ ）
A、???????5?????????
,? B、?,? C、?,? D、?0,? ?124??1212??63??2?
（提示：数形结合，先画出圆的图形。圆方程化为
(x?2)2?(y?2)2?(32)2，由题意知，圆心到直线
的距离d应该满足0?d?2，在已知圆中画一个半
径为2的同心圆，则过原点的直线l:ax?by?0与小圆有公共点，∴选B。） 【练习8】、（07浙江文10）若非零向量a，b满足|a-b|=| b |，则（ ） A、|2b| ＞ | a-2b | B、|2b| ＜ | a-2b | C、|2a| ＞ | 2a-b | D、|2a| ＜ | 2a-b |
（提示：关键是要画出向量a，b的关系图，为此 先把条件进行等价转换。|a-b|=| b |?|a-b|=
2222
| b |? a+b-2a·b= b? a·（a-2b）=0? a⊥（a-2b），又a-（a-2b）=2b，所以|a|，| a-2b |，
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|2b|为边长构成直角三角形，|2b|为斜边，如上图， ∴|2b| ＞ | a-2b |，选A。
另外也可以这样解：先构造等腰△OAB，使OB=AB， 再构造R△OAC，如下图，因为OC＞AC，所以选A。）
【练习9】、方程cosx=lgx的实根的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、4
（提示：在同一坐标系中分别画出函数cosx与lgx的图象，如图，
由两个函数图象的交点的个数为3，知应选C）
【练习10】、(06江苏7)若A、B、C为三个集合，A?B?B?C，则一定有（ ）
A、A?C B、C?A C、A?C D、A?? （提示：若A?B?C??，则A?B?A,B?C?B?A 成立，排除C、D选项，作出Venn图，可知A成立）
【练习11】、(07天津理7)在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)?f(2?x)。若f(x)在区间[1，2]上是减函数，则f(x)（ ）
A、在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数 B、在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数 C、在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数 D、在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数
（提示：数形结合法，f(x)是抽象函数，因此画出其简单图象即可得出结论，如下左图知选B）
【练习12】、（07山东文11改编）方程x?()312x?2的解x0的取值区间是（ ）
A、（0，1） B、（1，2） C、（2，3） D、（3，4） （提示：数形结合，在同一坐标系中作出函数y?x,y?()上右图）
312x?2的图象，则立刻知选B，如
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二、特值代验
包括选取符合题意的特殊数值、特殊位臵和特殊图形，代入或者比照选项来确定答案。这种方法叫做特值代验法，是一种使用频率很高的方法。
【例题】、（93年全国高考）在各项均为正数的等比数列?an?中，若a5a6?9，则（ ） log3a1?log3a2???log3a10?A、12 B、10 C、8 D、2?log35
【解析】、思路一（小题大做）：由条件有9?a5a6?a1q4?a1q5?a12q9,从而
10a1?a2?a3???a10?a1?q1?2???9?(a12q9)5?310，
所以原式=log3(a1a2?a10)?log3310?10，选B。
思路二（小题小做）：由9?a5a6?a4a7?a3a8?a2a9?a1a10知原式=log3(a5a6)5?log3310?3，选B。
思路三（小题巧做）：因为答案唯一，故取一个满足条件的特殊数列a5?a6?3,q?1即可，选B。
【练习1】、（07江西文8）若0?x?A、sinx??2，则下列命题中正确的是（ ）
2?x B、sinx?2?x C、sinx?3?x D、sinx?3?x
（提示：取x???,验证即可，选B）
634701301n???2?(?)nN【练习2】、（06北京理7）设fn()2?2?2?2?A、
，则f(n)?（ ）
2n222(8?1) B、(8n?1?1) C、(8n?3?1) D、(nn?4?1) 7777（提示：思路一：f（n）是以2为首项，8为公比的等比数列的前n?4项的和，
2(1?8n?4)2n?4?(n?1)，选D。这属于直接法。 所以f(n)?1?87思路2：令n?0，则f(0)?2?24?27?210?342?1?(2)???1?22?(84?1)，对照选项，只有7D成立。）
【练习3】、（06全国1理9）设平面向量a1、a2、a3的和a1+a2+a3=0，如果平面向量b1、b2、
b3满足| bi|=2| ai |，且ai顺时针旋转30?以后与bi同向，其中i=1、2、3则（ ）
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