2011年第十六届华罗庚金杯赛少年数学邀请赛初赛试卷（小学组）及(3)

第九题：梯形ABCD面积知道，那么只要求出空白部分的面积就可以得到阴影面积 由题可知中间空白部分EMFN的面积为（13×4）÷2=26

而EF把梯形ABCD分割成两个梯形ABEF和EFCD，由蝴蝶定理可知

三角形ABM面积=三角形EMF面积，三角形DNC面积=三角形EFN面积

所以三角形ABM面积+三角形DNC面积=三角形EMF面积+三角形EFN面积=四边形EMFN面积=26

所以空白部分的面积总和为：26+26=52 所以阴影部分面积为117-52=65平方厘米

对角线垂直要注意到可通过将四边形分割成两个等底三角形求面积，然后有梯形存在，应该要想到蝴蝶定理的运用，基本定理熟练掌握即可得解

第十题：个位数一共有0~9十个数，而竖式中一共有九个不同的数字，那么必有一个数字没有用到，设为N

那么九个汉字的数字和为：45-N

进行加法后得到的得数的数字和为：2+0+1+1=4

所以数字和减少了41-N

而在十进制里面，逢十进一，即每进一次位，数字和减少10-1=9

所以41-N必定能被9整除，可见只有N=5的时候,41-N=36能被9整除，即在竖式里面发生了四次进位

再观察竖式，可见“十”+“杯”尾数为0，必定发生了一次进位，故“华”字一定为1 要四位数“华杯初赛”最大，则首先要考虑“杯”的取值

由于竖式里个位加和，十位加和的尾数均为1，则十位个位都发生了至少一次进位，那么十位可向百位进1或者进2，

此时“十”+“杯”=9或者8，又因为“十”为三位数的首位，不能为0，所以“十”≥2 那么当“十”+“杯”=9，且“十”=2时，“杯”字可取最大值，为7，此时十位向百位进1，个位向十位进2

此时剩下的六个数为：0.3.4.6.8.9，因为个位向十位进2，且进位后余1，即个位上三个数和为21，此时只有4,8,9满足条件

所以“赛”字的最大值为9

因此十位上的三个数为3,6,0故“初”字的最大值为6 综上，“华杯初赛”的最大值应为1769

这是进位制、数字和和数字迷的综合题，知道每进一次位，数字和减少9即可找到关键点

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