第4章___数字滤波器设计(3)

Ar?10dB, ?r=1040Hz (CB型)

（3） 取样间隔T=100?s

2．设计一个数字带通滤波器，使之满足以下指标： （1） 通带0.25????0.35? （2）

?l=0.2?, ?u=0.4?

（3） ?p=0.8dB, ?r?60dB 2． 设有一信号x(n)=1+cos目的：

?2?n+cosn，设计各种IIR数字滤波器以达到下面的

342??n的成分，保留的成分为1+cosn； 34?2?高通滤波器，滤除1+cosn的成分，保留的成分为cosn；

342??带通滤波器，滤除1+ cosn的成分，保留的成分为cosn；

34?2?带阻滤波器，滤除cosn的成分，保留的成分为1+cosn；

34低通滤波器，滤除cos

(1) 用MATLAB命令butterord定出滤波器的阶次；用butter命令设计设个滤波器； 画出滤波器的幅度和相位频响；取得滤波器的系统函数H(z) （2） 试根据IIR滤波器设计原理和步骤编写出MATLAB程序。 4．四阶归一化低通巴特沃斯模拟滤波器系统函数为： Ha（s）＝

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s4?2.6131s3?3.4142s2?2.6131s?1用双线性变换法从Ha（s）设计四阶带通巴特沃斯数字滤波器HBP（z），并画出 其幅度谱。（设T＝1s ，?1c?0.35?，?2c?0.65?）

5．采用脉冲响应不变法和双线性变换法设计巴特沃斯数字低通滤波器，满足下列 指标：

通带边缘频率：0.4?，通带衰减：0.5dB ; 阻带边缘频率：06?，阻带衰减：50dB

6．用切比雪夫?型设计一个带通IIR数字滤波器，满足下列指标： 0.95?H|e( 0?|He(j?j? ， 0?|?|?0.25? ； ?)|1. 0 ， 0.35??|?|?0.65? ； )?|0. 11

0.95?|H(ej?)|?1.05 ， 0.7?5??|??| 求出滤波器的系统函数H（z），并画出幅度响应图。

7．采用脉冲响应不变法设计一个数字低通滤波器，满足下列指标：

fs=8KHz,通带边缘频率为1.5KHz，波动为3dB，阻带边缘频率为2KHz，衰减 为40dB,通带等波纹但阻带是单调的，求出滤波器的系统函数H（z），并画出幅度 响应图。

8．采用脉冲响应不变法设计一个数字高通滤波器，满足下列指标：

fs=1KH,通带边缘频率为2KHz，波动为3dB，阻带边缘频率为1.5KHz，衰减 z为40dB, 单调的通带和阻带，求出滤波器的系统函数H（z），并画出幅度响应图。

4.2.2 窗函数的特性分析

在滤波器设计中和功率谱估计中，窗函数的选择对设计和分析的结果都起着很 重要的作用。截短无穷长的序列会造成吉布斯现象，恰当选取窗函数，可以抑制吉 布斯现象。下表给出几种常用窗函数表示式和MATLAB实现方法。

常用窗函数Matlab实现方法

函数名称 矩形窗(Rectangular) 汉宁窗（Hanning） MATLAB实现 w=boxcar(N) 或w=ones(N,1) w=hanning(N) 或n=0:N-1 w=1/2*(1-cos(2*pi*n/(N-1))) 哈明窗(Hamming) w=hamming(N) 或 n=0:N-1 w=0.54-0.46*cos(2*pi*n/(N-1)) 布莱克曼窗(Blackman) w=blackman(N) 或n=0:N-1; w=0.42-0.5*cos(2*pi*n/(N-1))+0.08*cos(4*pi*n/(N-1)) Bartlett窗（三角形窗的一种）

w=bartlett(N) 或 n=0:N-1; 12

w=1-abs(2*(n-(N-1)/2)/(N-1)) 凯塞窗(Kaiser)

表中前五种窗函数的形状是固定的，因而一但选择了某种窗函数，用它进行谱 分析得到的频谱纹波或设计出的滤波器的阻带衰减就确定了。凯泽窗是一种可调窗， 可以通过改变窗函数的形状来控制频谱纹波或阻带衰减指标，因而获得广泛的应用。

MATLAB中也提供了许多常用的窗函数，调用格式为： w=boxcar(N) w= hanning(N) w = hamming(N) w = blackman(N)

w =kaiser(N,beta)，N是窗函数的长度，beta是控制kaiser窗形状的参数。 例：画出布莱克曼窗； 解：N=22;

n=0:N-1;

w=0.42-0.5*cos(2*pi*n/(N-1))+0.08*cos(4*pi*n/(N-1));% w = blackman(N)； stem(n,w);

w=kaiser(N,beta)

设计内容：

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1．分析并绘出各种窗函数的时域特性；

2． 使用fft函数做出各窗函数的频域特性, 并从主瓣宽度和旁瓣相对幅度两个角 度进行比较分析； 3． 一个序列为X(n)=cos

11?9?n+cosn，使用FFT分析其频谱： 2020（1） 使用不同宽度的矩形窗截短该序列为M点长度, 取M分别为：

a)M=20; b)M=40; c)M=160 观察不同长度的窗对谱分析结果的影响；

(2 ) 使用哈明窗重做(1 ) ；对两种窗的结果进行比较和分析； 4． 总结窗的不同长度和不同窗对谱分析结果的影响。

思考题：

(1) 在信号谱分析中，如何选择窗函数？ (2) 在数字系统设计时，如何选择窗函数？ (3) 如何选择不同特性的窗函数？

4.2.3 FIR数字滤波器设计

FIR数字滤波器的优点是具有线性相位。在数据通信、图象处理、语音信号 处理等实际应用领域，往往都要求线性相位特性，因而使用FIR数字滤波器。 FIR滤波器的传递函数表示为：

H(z)=

?n?0N?1h(n) z - n 其单位脉冲响应h(n)是有限长的，因此这种滤波器称为有限长单位脉冲响应 (FIR)滤波器。

其设计过程的核心是求出有限的脉冲响应来逼近给定的频响。由于FIR滤波 器脉冲响应在满足h(n)=±h(N-n-1)的对称的条件下具有严格的线性相位，使所设计

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的数字滤波器无相位失真，因此在设计中可以着重考虑幅频特性如何符合指标的要 求。常用的设计方法有窗口法与频率取样法。 1．窗口法设计FIR数字滤波器

窗口法的设计思想是基于把给定的频响Hd(ejw)通过离散时间傅里叶逆变换 (IDTFT)求得脉冲响应hd(n)，而后利用窗函数对它进行截短和平滑，达到设计一个 物理可实现且具有线性相位FIR数字滤波器的目的。 窗口法设计过程为：

??hd(n) ?????H(ejw) Hd(ejw)????h(n)??Hd(ejw)是理想滤波器的频域系统函数(频响)，H(ejw)是设计出的实际滤波器的频响。 加窗的作用是通过把理想滤波器的无限长脉冲响应hd(n)乘以窗函数来产生一个被 截短的脉冲响应h(n)，即h(n)= hd (n) w (n)并对频响进行平滑。 例1: 分别使用矩形窗函数和哈明窗函数设计一个线性相位低通滤波器：

e - jω? |ω|?ωc

Hd(ejω) =

0 ωc < |ω|

IDTFT加窗(??)DTFT? ? , 其中ωc=1rad,?=12s.

?c?sinc(c(n??)) ??解: 按IDTFT求得其理想脉冲响应：hd(n) =

该理想滤波器的脉冲响应hd(n)以?为中心对称。根据线性相位条件h(n)= h(N-n-1)， 故实际滤波器的脉冲响应长度为N=25。分别使用矩形窗函数和哈明窗函数对h(n) 进行截短：

?c?sinc(c(n??)) 0?n?N-1 ??1) 使用矩形窗函数得h(n)= 0 其它

2) 使用哈明窗函数得：

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