网络的稳定性、无源性和耗散性(4)

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性，解决了鲁棒耗散问题才能使耗散理论的应用更加有效，所以研究不确定系统的鲁棒耗散控制问题既有重要的理论价值也具有重要的实际意义。

研究耗散性和无源性理论的主要出发点在于他们运用基于能量的输入输出描述给出了控制系统分析和设计的新框架，对系统控制的诸多方面都起到很大的推动作用。具体的说，第一、他们为李雅普诺夫函数的构造提供了新方法。在现代理论中，经常要用到李雅普诺夫函数，但其实际可行的构造方法并不多，而无源系统的存储函数在一定条件下便可以作为李雅普诺夫函数。这个事实也为无源性理论和非线性系统集几何理论的深入结合来解决系统控制问题提供了良好的基础：第二、应用它们可方便研究受控动态系统的诸如系统镇定，调节问题，鲁棒控制，自适应控制，最优控制以及H?控制等重要课题。不仅在控制理论方面有着重要的作用，耗散性和无源性理论在许多实际系统，如机器人系统，电机系统，内燃机工程，化工过程等的研究中扮演着很重要的角色，有时甚至不可或缺。综上所述，系统的耗散性和无源性理论研究不仅具有重要的理论意义，而且具有广阔的应用前景，是一个很有价值的研究课题。

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第5章 三者之间的关系

5.1 无源性与稳定性关系

无源性与稳定性间的紧密联系可以从两方面得到体现：l、无源系统的KYP引理；2、无源系统的正定存储函数可以作为李雅普诺夫函数。无源系统并不是稳定系统的子集，无源系统加上可探测性条件才会是稳定的[4]。

主要讨论系统无源性与系统平衡点稳定性和系统输入—输出L2稳定性之间的关系。考虑动态非线性系统

??f(x,u)?x ?y?h(x,u)?(4-8)

其中，f:Rn?Rp?Rn是局部Lipschitz的，h:Rn?Rp?Rp是连续的，且f(0,0)?0，h(0,0)?0。

??f(x,0)除了零解x(t)?0外，没有其他的解恒保定义5.1 对于式(4-8)系统，如果方程x持在S??x?Rn|h(x,0)?0?内，则该系统被称为是零状态可观测的。

定义5.2 对于式(4-8)系统，如果当u(t)?0，y(t)?0时，必有limx(t)?0，则该系统被

t??称为零状态可检测的。

无源性与稳定性的关系： 定理5.1 考虑式(4-8)系统，

??f(x,0)的原点是稳定的； （1）如果系统是关于正定存储函数V(x)无源的，那么x（2）如果系统是输出严格无源的，那么它是有限增益L2稳定的；

（3）如果系统是关于正定存储函数V(x)输出严格无源的，且是零状态可观的，那么??f(x,0)的原点是渐近稳定的； x（4）如果系统是关于正定存储函数V(x)输出严格无源的，且是零状态可检测的，那么??f(x,0)的原点是渐近稳定的； x??f(x,0)的原点是渐（5）如果系统是关于正定存储函数V(x)状态严格无源的，那么x近稳定的。

??f(x,0)的原更进一步，如果（3）、（4）、（5）情况中的V(x)还是径向无界的，那么x点将是全局渐近稳定的。

例 考虑p输入p输出系统???f(x)?g(x)u?x，其中，f是局部Lipschitz的，g和h是连

y?h(x)?续的，且f(0)?0，h(0)?0。假设存在连续可微半正定函数V(x)，使得

?V?Vf(x)?0，g(x)?hT(x) ?x?x那么uTy??V?V?V[f(x)?g(x)u]?uTh(x)?f(x)?hT(x)u??f(x)?0。 ?x?x?x??f(x)的原点是稳定的。 这表明系统是无源的。如果V(x)是正定的，可得x如果有更严格的条件

?V?Vf(x)??khT(x)h(x)，k?0，g(x)?hT(x)，则 ?x?x?V?V[f(x)?g(x)u]??f(x)?kyTy ?x?xuTy?系统是输出严格无源的。则由定理5.1可知，系统是有限增益L2稳定的，且其L2增益小于或

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??f(x)的原点是渐近稳等于1/k。另外，如果系统是零状态可观测或零状态可检测的，则x定的。进一步，如果V(x)是径向无界的，则原点将是全局渐近稳定的。

5.2 无源性与耗散性的关系

定义5.3 考虑式(3-2)系统及能量供给率s(u,y)。若存在半正定的存储函数V(x)(V(0)?0)使得耗散不等式(4-1)对于任意输入u成立，则称该系统对能量供给率s(u,y)是耗散的。

显然，无源性是耗散性的一种特例，即如果系统对于供给率s(u,y)?yTu是耗散的，那么就称该系统是无源的。

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参考文献

[1]焦晓红，关新平.非线性系统分析与设计[M]].北京:电子工业出版社，2008 [2]梁贵书.电网络分析选论[M].保定:华北电力大学，2005

[3]QIN Huashu and HONG Yiguang.Passivity,Stability and Optimality[J].CONTROLTHEORY AND APPLICATIONS, 1994, Vol.11,421-429

[4]李桂芳.不确定系统的耗散性和无源性问题研究[D].南京:南京理工大学博士学位论文,2006

[5]李琴.一类广义系统的无源性分析及相关控制问题的研究[D]. 沈阳:东北大学博士学位论文,2007

[6]邵汉永.不确定系统的鲁棒耗散控制研究[D].南京:东南大学博士学位论,2005

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