网络的稳定性、无源性和耗散性(3)

电网络分析选论结课论文

第3章 网络的无源性

无源性的概念来源于电网络和物理学的分支[3]，是与系统的能量存储函数以及外部输入和输出信号相关的概念。因此，无源性很好地把系统Lyapunov稳定性和L2稳定性联系起来，为分析非线性系统提供了一个有力的工具。由于无源性理论利用了物理系统的结构特点，无源性方法和其它控制技巧结合使用时，可以简化相应的控制方法，用无源化方法设计的非线性观察器观测器可以减少观测器的参数，而且它也可以简化自适应控制，鲁棒控制，滑模控制控制，神经网络和模糊控制。近年来，无源性理论广泛应用于控制系统设计，机器人控制，机械系统，电力系统和化工过程等方面[3,4]。

3.1 无源性的概念

无源性的概念来源于电网络，所以用电路来阐述该定义。图 2-1图 3-1所示是电压为u，电流为y的单端口电阻元件，把该元件看成是以电压u为输入，电流y为输出的系统。y?h(u)?Gu，G?1/R为电导。

+u-yR

图 3-1 无源电阻

如果输入功率始终是非负，即如果在u?y特性的每个点(u,y)都满足uy?0，则该电阻元件是无源的。对于一个多端口的网络，u?Rp和y?Rp是向量，流入网络的功率是内积

uy??uiyi??uihi(u)。如果对于所有u都有uTy?0，则认为网络是无源的。uTy?0是无

Ti?1i?1pp源性的极限情况。在这种情况下，认为系统是无损耗的。

首先把这一无源性概念推广到无记忆非线性函数 y?h(t,u) 其中，h:[0,?)?Rp?Rp。

定义3.1 考虑式(3-1)系统，

（1）如果uTy?0，?(t,u)?[0,?)?Rp，则系统是无源的； （2）如果uTy?0，则系统是无损的；

（3）如果存在某一函数?(u)，满足uTy?uT?(u)，则系统是输入前馈无源的；

(3-1)

（4）如果满足uTy?uT?(u)，?u?0，且uT?(u)?0，则系统是输入严格无源的； （5）如果存在某一函数?(y)，满足uTy?yT?(y)，则系统是输出反馈无源的； （6）如果满足uTy?yT?(y)，?y?0，且uT?(y)?0，则系统是输出严格无源的。 以下定义由状态空间表达式描述的非线性系统

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??f(x,u)?x ?y?h(x,u)?(3-2)

的无源性，其中，状态向量x?D，D为Rn空间中含原点的子集或者整个空间，u?Rp和

y?Rp分别为p维的输入信号和输出信号。f:D?Rp?Rn是局部Lipschitz的，

h:D?Rp?Rp是连续的，且f(0,0)?0，h(0,0)?0。

定义3.2 对于式(3-2)系统，如果存在连续可微的半正定的函数V:D?R，使得

V(x(t))?V(x(0))??yT(s)u(s)ds,?t?0

0t(3-3)

对任意的输入信号u?Rp都成立，则称式(3-2)系统是无源的。V(x)则称为能量存储函数，简称存储函数，式(3-3)称为耗散不等式。若式(3-3)中只取不等号，或者存在正定函数Q(x)，使得耗散不等式

V(x(t))?V(x(0))??yT(s)u(s)ds-?Q(x)d?，?t?0

00tt(3-4)

对任意的输入信号u都成立，则称该系统是严格无源的。

如果D不是整个空间，即只考虑局部特性，那么耗散不等式不要求对任意的输入u都成立，而是对那些使得状态停留在D内的输入信号u成立即可。

显然，由上述定义可知，无源性是与系统的外部输入、输出信号相关的概念。如果视

那么耗散不等式(3-3)的左端就代表系统从初始时V(x(t))为系统t在时刻所具有的能量总和，

刻t?0到t时刻的能量的总增量。如果进一步把yTu解释为伴随着输入u(t)由外部注入到系统的能量供给率，那么式(3-3)的右端就是在0~t时间从外部注入系统的能量总和。因此，耗

散不等式的物理意义就在于，它表明系统的能量由初始时刻t?0到目前时刻的增长量总是小于等于外部注入的能量总和。这就意味着无源系统的运动总是伴随着能量的损耗。

下面给出针对(3-2)系统给出一些无源性相关定义。

定义3.3 对于式(3-2)系统，如果存在连续可微的半正定的函数V(x)，使得

?(x)?uTy-?uTu-?yTy-??(x)，?(x,u)?D?Rp V(3-5)

则称式(3-2)系统是无源的，其中?,?,?是非负常数，?(x)是x的一个正定函数，且对于所有

的解x(t)和任意使解存在的u(t)，有?(x)?0?x?0。更进一步，有

?(x)?uTy，系统是无损的； （1）如果??????0，且有V?(x)?uTy??uTu，系统是输入严格无源的； （2）如果??0,????0，即V?(x)?uTy??yTy，系统是输出严格无源的； （3）如果??0,????0，即V?(x)?uTy???(x)，系统是状态严格无源的； （4）如果??0,????0，即V（5）如果?,?,?中多于一个为正，则可以合并命名，例如，??0,??0,??0，则系统是输入输出严格无源的。

3.2 无源性条件

考虑非线性系统

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??f(x)?g(x)u?x ?y?h(x)?d(x)u?(3-6)

式中，x?Rn，u?Rp和y?Rp分别为状态向量、输入信号和输出信号。f(x)和h(x)分别为n维和p维的函数向量；g(x)为n?p维的函数矩阵；d(x)为p?p维的函数矩阵。

定义3.4 对于式(3-6)系统，若存在半正定函数V(x)、函数矩阵l(x)及w(x)，使得

??VT??xf(x)??l(x)l(x)???Vg(x)?hT(x)?2lT(x)w(x) ???x?1TT?2?d(x)?d(x)??w(x)w(x)? (3-7)

成立，则称式(3-6)系统具有KYP特性。

定理3.1 式(3-6)系统是无源的充分必要条件是存在光滑可微的半正定存储函数V(x)，使得该系统具有KYP特性。

考虑线性系统

??Ax?Bu?x ?y?Cx?Du?(3-8)

注意到式(3-8)线性系统是式(3-6)非线性系统的特例。

定理3.2 线性时不变最小实现为式(3-8)系统，传递函数为G(s)?CT(sI?A)?1B?D （1）如果G(s)是正实的，则系统是无源的；

（2）如果G(s)是严格正实的，则系统是严格无源的。

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第4章 网络的耗散性

第3.1节中所介绍的无源性概念，反映了系统在运动过程中能量的耗损特性。对系统耗散不等式的这种物理解释实际上基于一种前提，即存储函数V(x)表示系统在状态x(t)所具有的能量综合。yTu代表单位时间内随输入信号注入系统的能量供给率。如果考虑更一般的供给率，即单位时间内由外部注入的能量为输入--输出信号的更一般的函数s(u,y)，那么耗散不等式为

V(x(t))?V(x(0))??s(u(?),y(?))d?,?t?0

0t(4-1)

同样反映了所对应的能量耗损特性。

耗散性和作为其特例的无源性概念广泛存在与物理学、应用数学及其力学等领域。它们在控制领域里的应用起源于Kalman、popov、Yakubocich和Willems等在超稳定性，正实性等方面开创性的工作，后经众多控制工作者的共同努力形成了系统的耗散性和无源性理论。耗散系统在任意时刻所具有的能量总是小于或等于系统初始时刻的能量和外部提供的能量之和，这种物理意义和无源性完全相同，只是在能量供给方式上更具有一般性[5]。

关于线性系统的耗散性研究，线性定常系统的无源性或传递函数的正实性首先是人们关注的焦点。传递函数的正实性是线性定常系统的一种重要性质，在绝对稳定性分析、超稳定性理论、无源性分析、二次优化控制及自适应控制理论等多个领域中应用广泛。近年来，受鲁棒稳定性分析中参数化方法的刺激，正实性综合受到了广泛的关注。关于非线性系统的耗散性研究，一般非线性系统的耗散性研究主要集中在仿射系统的无源性及无源化上。Molan将KYP引理推广到了仿射非线性系统的情形，并证明了对仿射非线性系统，在局部能控的假设下，输入输出无源性和基于状态空间的无源性定义是等价的。而Hill研究了无源性和稳定性之间的关系，揭示出零状态可观系统的储能函数是正定的，从而断定这样的无源系统是稳定的，并进一步指出此时系统可通过无记忆输出反馈渐近镇定。这就是说，对无源系统，只要零状态可观测。简单的单位负反馈就可使系统渐进稳定[6]。这些研究成果为控制系统的无源性设计方法奠定了理论基础。无源性理论是当今非线性系统分析和设计的重要工具，而使系统无源即系统的无源化成为基于无源分析的控制系统设计的关键。本文从非线性系统出发，给出耗散性的定义和相关性质。

4.1 耗散性定义

定义4.1 考虑式(3-2)系统及能量供给率s(u,y)。若存在半正定的存储函数V(x)(V(0)?0)使得耗散不等式(4-1)对于任意输入u成立，则称该系统对能量供给率s(u,y)是耗散的。

显然，无源性是耗散性的一种特例，即如果系统对于供给率s(u,y)?yTu是耗散的，那么就称该系统是无源的。在非线性控制理论中，还有一种重要的供给率就是所谓的?供给率

122s(u,y)?{?2u?y}

2(4-2)

其中，??0为给定正数。?表示对向量的欧几里得范数。

如果式(3-2)系统对于式(4-2)供给率是耗散的，则称该系统是?耗散的。如果式(3-2)系统是?耗散的，那么，沿任意零初始状态所对应的轨迹，不等式0?V(x(t))?1t222{?u?y}d?,?t对于任意的输入u都成立，注意到V(0)?0，即对任意?2013

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t?0，有?0y(?)d???t22?t0u(?)d?,?u。

2如果进一步假设系统对于任意u?L2，有y?L2，那么，该系统作为输入信号空间到输出信号空间的算子Tyu，其诱导范数Tyu满足

?2Tyu?supyu22?? (4-3)

u2?0式中，u2??0ud?为L2范数，或者

?T0y(?)d???2?u(?)d?,?u?L2[0,T]

02T2(4-4)

对于任意给定的T?0成立。不等式(4-3)的左端为式(3-2)系统的L2范数的定义。若式(4-3)或式(4-4)成立，则称式(3-2)系统具有小于或等于?的L2增益。

当存储函数V(x)光滑可微时，耗散不等式(4-1)就可以等价地表示为其微分形式

??s(u,y),?t?0,??1{?2u2?y2},??0。 或者?耗散不等式等价于VV2综合上述讨论。，有下面的引理。 引理4.1 对于给定的正数??0，若式(3-2)系统是?耗散的，则该系统具有小于或等于?的L2增益。

定理4.1 考虑式(3-6)非线性系统。对于给定的正数??0，存在光滑可微的存储函数V(x)使得系统是?耗散的充分必要条件是

?2I?dT(x)d(x)?0,?x

(4-5)

成立，且存在适合的函数向量l(x)和w(x)满足

1T??VTf(x)??h(x)h(x)?l(x)l(x)??x2???Vg(x)??hT(x)d(x)?2lT(x)w(x) ???x12?Tw(x)w(x)?{?I?dT(x)d(x)}?2? (4-6)

1推论4.1 对于给定的??0，式(3-8)系统对于二次型正定存储函数V(x)?xTPx,(P?0)2是?耗散的充分必要条件是存在适当的矩阵L使得

?ATP?PA??CTC?LTL ?TTPB??CD?LM?(4-7)

成立。其中，M为满足?2I?DTD?MTM的任意矩阵。

4.2 耗散性意义：

耗散理论从一类耗能网络中抽象出来具有广泛的工程背景，已经成为自适应系统、非

线性系统、鲁棒控制系统设计的重要工具。而耗散控制可将H?控制和无源控制统一起来，为控制系统设计提供一种更灵活、保守性较小的方法。不仅如此，耗散控制也是鲁棒控制系统设计的重要方法。另外，由于实际系统难以精确描述，运行过程中也有各种各样的不确定

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