网络的稳定性、无源性和耗散性(2)

电网络分析选论结课论文

?(x)???||x||2。 (2)V3则系统在平衡点x?0处是局部指数稳定的。如果对于任意的x?Rn，条件（1）、（2）都成立，

则平衡点是全局指数稳定的。

4. 不稳定定理

定理2.5 对于式(2-1)系统，令x?0是平衡点，D?Rn是包含x?0的域。若存在连续可微函数V:D?R，有V(0)?0，并且对于在原点的任意小邻域内（||x0||很小）有V(x0)?0。

?(x)?0。则此时系统同时，定义集合U?{x?Br|V(x)?0},Br?{x?D|||x||?r}，在域U内V在平衡点是不稳定的。

5. 线性定常系统稳定性判别

现在考虑自治系统的特例线性定常系统的情况。线性定常系统描述为

??Ax,x(0)?x0 x(2-11)

其中，A是非奇异阵。式(2-11)系统有唯一的平衡点xe?0。则平衡点的稳定性可由如下定理判别。

定理2.6 对于式(2-11)系统，平衡点xe?0是渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征根满足Re?i?0，即矩阵A为Hurwitz矩阵。而矩阵A特征根均为负实部，当且仅当对任意给定的正定对称阵Q，存在满足如下Lyapunov方程的对称正定阵P，而且，如果A阵是稳定阵，那么，P是方程的唯一解。

6. 非线性系统的线性化

考虑式(2-1)非线性系统，其中，f:D?Rn是连续可微的函数，x?0包含在D中，且是平衡点，f(0)?0。由中值定理有

fi(x)?fi(0)??fi(z)x,i?1,2,...,n ?xPA?ATP??Q

(2-12)

(2-13)

其中，z是连接x与原点的线段上的一点。由于f(0)?0，则

所以有

其中，A?fi(x)??fi?f?f?f(z)x?i(0)x?[i(z)?i(0)]x ?x?x?x?x??Ax?g(x) x(2-14)

(2-15)

?fi?f?f(0)，g(x)?[i(z)?i(0)]x。 ?x?x?x?fi?f?f的连续性，有当||x||?0时，(z)?i(0)||||x||，由于

?x?x?x函数g(x)满足不等式g(x)?||||g(x)||?0。这意味着在原点的很小的邻域内，非线性系统可以用它的关于原点的线性化||x||??f(x)在原点的稳定性可以用其近似方程中矩阵A来判别。进而有??Ax来近似表示，则xx下面的Lyapunov间接定理。

定理2.7 对于式(2-1)系统，x?0是平衡点，f:D?Rn连续可微，D是原点的一个邻域。令A??f(x)|x?0，则 ?x5

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(1)如果A的所有特征根均为负实部Re?i?0，原点是渐近稳定的。 (2)如果A的特征根有一个或多个Re?i?0，原点是不稳定的。

注2.4 定理2.7并未给出对于所有的特征根Re?i?0，对于一些特征根Re?i?0的情况的结论，在这种情况下，用线性化不能确定原点的稳定性。 2.2.2 时变系统平衡点稳定性判别

本节将讨论式(2-6)时变系统的平衡点xe?0是稳定或渐近稳定的条件。注意，与自治系统相比，时变系统的稳定性分析增加了一致性的概念。

设U?Rn是原点x?0的一个邻域，J?[t0,?),t0?0是初始时刻。

定理2.8 （Lyapunov稳定定理）对于式(2-6)系统，若存在连续可微的正定函数

，并且V沿式(2-6)系统的轨迹对t的导数 V(t,x)(V:J?U?R)

?(t,x)??V??Vf(t,x) V?t?x(2-16)

是连续半负定的，则x?0是该系统稳定的平衡点。若V(t,x)是正定且渐小的，即存在正定函数W1(x),W1(x)，使得W1(x)?V(t,x)?W2(x),?(t,x)?J?U，则平衡点是一致Lyapunov稳定的。

定理2.9 （渐近稳定定理）对于式(2-6)系统，若存在连续可微函数

V:[0,?)?U?R(U?{x|x?Rn,||x||?r})，和连续正定函数W1(x),W2(x),W3(x)，使得V(t,x)和

沿式(2-6)系统的任意轨迹V(t,x)的时间导数满足

(1)W1(x)?V(t,x)?W2(x)

(2)

?V?V?f(t,x)??W3(x) ?t?x则x?0是该系统的一致渐近稳定的平衡点。如果U?Rn，W1(x)是径向无界，则x?0是该系统的全局一致渐近稳定的平衡点。

定理2.10 对于式(2-6)系统，若V(t,x):J?U?R是系统的Lyapunov函数，且满足

(1)r1||x||2?V(t,x)?r2||x||2,?(t,x)?J?U； (2)

dV(t,x)???||x||2,?(t,x)?J?U。 dt其中，r1?0,r2?0,??0为给定常数，则零解x?0是指数稳定的。

2.3 Lyapunov函数的构造方法

以下是一些实际中常采用的V(x)函数构造方法。 ??Ax 1. 线性定常系统：x取Q?I，解ATP?PA??Q，求出P，由P的正定性判别系统稳定性。因此，V(x)函数构造为V(x)?xTPx。

??A(t)x 2. 线性时变系统：x?(t)?AT(t)P(t)?P(t)A(t)?Q(t)，求出P(t)，由P(t)连续、对称、正定判取Q?I，解?P别系统稳定性。因此，V(t,x)函数构造为V(t,x)?xTP(t)x。

??f(x) 3. 非线性自治系统：x6

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(1)Jacobian矩阵法

??f1??x?1??f2?f?先计算Jacobian矩阵J(x)?[]???x1?x?????fn??x?1?f1?x2?f2?x2??fn?x2?f1??xn???f2?...??xn?，选取V(x)?fTPf?x?TPx?，P为????fn?...?xn??...对称正定阵，则V(x)的时间导数为

?TPf?fTPf??[J(x)f(x)]TPf?fTP[J(x)f(x)]?fT[JT(x)P?PJ(x)]f ?(x)?fV令Q??JT(x)P?PJ(x)，则给定Q，求出P，由P的正定性判别系统稳定性。

特例，P?I，则V(x)?fT(x)f(x),?Q?JT(x)?J(x)，是克拉索夫斯基法。 (2)变量梯度法

??V???x??Vn?1??1???由?V(x)????????，其中?Vi??Pij(x)xj，若选取Pij(x)使得

j?1?????V?Vn???????xn???V?V???Vx?1??2?...??3 Vxx?x1?x2?xn为负，同时满足旋度方程

??Vi??Vj?,(i,j?1,2,...n)，则在此条件下求得 ?xj?xix2xnxx1V(x)???Vdx???V1(x1,0,0,...,0)dx1???V2(x1,x2,0,...,0)dx2?...???Vn(x1,x2,...,xn)dxn

00002.4 Lp稳定性

一般将非线性系统的动态过程描述为如下的状态空间表达式形式：

??f(t,x,u)?x ??y?h(t,x,u)(2-17)

式中，x?Rn为该系统的内部状态；u?Rm为系统外部输入信号；y?Rq为系统输出信号。在考虑外部输入信号作用下系统的输出响应特性分析时，可以采用输入—输出法来建模非线性系统，就像可以采用传递函数这种外部描述法来建模线性系统一样。即非线性系统输入--输出之间关系被描述为如下形式：

(2-18) y?Hu 其中，H代表某种映射或算子，指定了输入y和输出u之间的关系。下面研究工程系统的品质特性，即从映射或算子的角度给出非线性系统输入—输出稳定性的定义与判别方法。

1.

Lp稳定性定义

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q定义2.8 考虑式(2-18)非线性系统，其中算子H:Lmpe?Lpe。如果存在定义在[0,?)上的

)和一个非负常数?，使得对任意T?[0,?)，有 K函数?(?

||(Hu)T||Lp??(||uT||)Lp??,?u?Lmpe

(2-19)

||L表示向量空间的Lp范数。 成立，则称算子H是Lp稳定的。其中|?pq定义2.9 考虑式(2-18)非线性系统，其中算子H:Lmpe?Lpe。如果存在非负常数?和?，

使得对任意T?[0,?)，有

||(Hu)T||Lp??||uT||Lp??,?u?Lmpe

(2-20)

成立，则称算子H是有限增益Lp稳定的。

注2.5 如果p??，Lp是一致有界信号L?的空间，则L?稳定性即为有界输入有界输出稳定性。

显然BIBO稳定意味着任何一个有界输入的激励响应都是有界的。由于范数的等价性，表征BIBO稳定的定义不局限于L?空间或?--范数。实际上，只要输入信号在某种范数意义下有界时，输出信号也在同一范数意义下是有界的，则可称该系统是BIBO稳定的。

q定义2.10 考虑式(2-18)非线性系统，其中算子H:Lmpe?Lpe。如果存在正常数r，使得

对所有具有sup||u(t)||?r的u?Lmpe，有不等式(2-19)或不等式(2-20)成立，则称算子

0?t??qH:Lmpe?Lpe是小信号Lp稳定的或小信号有限增益Lp稳定的。

2.5 L2增益

L2稳定性在系统分析中起着特殊的作用，因为是平方可积信号，因此常可看成为有限

的能量信号。在许多抗干扰控制问题中，系统可以被看成是从一个干扰输入u到一个被控制输出y的输入—输出映射，希望输出信号y很小。如果使用L2输入信号，那么，控制设计的目的是保证输入—输出映射是有限增益L2稳定的，并且使系统的L2增益最小。

定理2.11 考虑线性定常系统

??Ax?Bu?x ?y?Cx?Du?(2-21)

其中，A为Hurwitz矩阵。设G(s)?C(sI?A)?1B?D，则系统的L2增益是

||y||L2||u||L2sup||G(j?)||2??max(GT(?j?)G(j?))??max[G(j?)]

??R(2-22)

即

?sup||G(j?)||2。

??R定理2.12 考虑非线性自治系统

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??f(x)?g(x)u,x(0)?x0?x ?y?h(x)?(2-23)

式中，x?Rn,u?Rm,y?Rq,f:Rn?Rn是局部Lipschiz的，g:Rn?Rn?m,h:Rn?Rq在Rn上连续，且f(0)?0,h(0)?0。如果存在一个连续可微的半正定函数V(x)和一个正数?，使得

?TV??V?如下不等式成立(???)： ?x??x?T

?V1?V?TV1TTf(x)?2g(x)g(x)?h(x)h(x)?0,?x?Rn ?x?x22??x(2-24)

那么，对于所有的x?Rn，系统是有限增益L2稳定的，且它的L2增益不大于?。

2.6 小增益定理

qqm图 2-1中的系统是由两个子系统H1:Lmpe?Lpe和H2:Lpe?Lpe反馈连接构成的。假设两

u1e??1H1y1y2H2e?2u2?

图 2-1 反馈连接系统

个系统都是有限增益Lp稳定的，即有

||y1T||Lp??1||e1T||Lp??1,?e1?Lmpe,?T?[0.?) ||y2T||Lp??2||e2T||Lp??2,?e2?Lqpe,?T?[0.?)

(2-25) (2-26)

qmq进一步假设对每对输入u1?Lmpe和u2?Lpe，都存在唯一的输出e1,y2?Lpe和e2,y1?Lpe，

在此意义下反馈系统有明确的定义

?u??y??e?u??1?,y??1?,e??1? ?u2??y2??e2?下面的小增益定理给出了反馈连接系统有限增益Lp稳定性的一个条件。

定理2.13（小增益定理）对于图 2-1 反馈连接系统，在前面的假设条件下，如果?1?2?1，则反馈连接系统是有限增益Lp稳定的。

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