网络的稳定性、无源性和耗散性

电网络分析选论结课论文

网络的稳定性、无源性和耗散性

目录

第1章 概述 ................................................................................................................................... 1 第2章 网络的稳定性 ................................................................................................................... 2 2.1 系统平衡点稳定性定义 ................................................................................................... 2

2.1.1 自治系统平衡点稳定性 ........................................................................................... 2 2.1.2 时变系统平衡点稳定性 ........................................................................................... 3 2.2 平衡点稳定性判别方法 ................................................................................................... 4 2.2.1 自治系统平衡点稳定性判据 ................................................................................... 4 2.2.2 时变系统平衡点稳定性判别 ................................................................................... 6 2.3 2.4 2.5 2.6

Lyapunov函数的构造方法 .............................................................................................. 6 .......................................................................................................................... 7 Lp稳定性

8 L2增益 .............................................................................................................................. 小增益定理 ....................................................................................................................... 9

第3章 网络的无源性 ................................................................................................................. 10 3.1 3.2

无源性的概念 ................................................................................................................. 10 无源性条件 ..................................................................................................................... 11

第4章 网络的耗散性 ................................................................................................................. 13 4.1 4.2

耗散性定义 ..................................................................................................................... 13 耗散性意义： ................................................................................................................. 14

第5章 三者之间的关系 ............................................................................................................. 16 5.1 5.2

无源性与稳定性关系 ..................................................................................................... 16 无源性与耗散性的关系 ................................................................................................. 17

参考文献......................................................................................................................................... 18

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第1章 概述

稳定是系统能够正常运行的前提必要条件。论文介绍了非线性系统平衡点Lyapunov稳定性分析理论，包括各种稳定形式的严格数学定义、稳定性判别定理。另外，从映射或算子的角度给出了非线性系统输入—输出稳定性的定义与判别方法。

无源性的概念是与实际系统的能量存储函数以及外部输入和输出信号相关的概念。它把系统Lyapunov稳定性和L2稳定性联系在一起，为分析非线性系统平衡点处Lyapunov稳定性和系统输入—输出L2稳定性提供了方便直观的工具。论文介绍了无源性定义和条件。

将无源性的概念扩展，即可引入与系统L2性能准则相关的系统耗散性的概念，这为分析非线性系统抗扰性能提供了有力工具。论文对耗散性概念、条件和意义进行了阐述。

论文还表明了三者之间的关系。

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第2章 网络的稳定性

对于实际工程中的动态系统来讲，稳定性是最基本的要求。对于非线性系统的稳定性分析，存在许多不同类型的稳定性问题[1]。例如，Lyapunov稳定性—无外部信号激励的情况下，系统的状态能够从任意的初始点回到自身所固有的平衡状态的特性。因此，也称为平衡点的Lyapunov稳定性。输入-输出稳定性和输入-状态稳定性—在有界的外部信号激励下，系统的输出和状态响应能够停留在有界的范围内的稳定特性，输入-输出稳定性也叫有界输入有界输出(BIBO)稳定性。

对于线性系统来讲，平衡点的Lyapunov稳定性和输入-状态(或输出)稳定性实际上是等价的，但是对于一般的非线性系统则不然。

下面1-3节讨论平衡点的Lyapunov稳定性，4-6节讨论输入-状态(或输出)稳定性。

2.1 系统平衡点稳定性定义

2.1.1 自治系统平衡点稳定性

考虑如下所描述的非线性自治系统：

??f(x),x0?x(0) x(2-1)

式中，x?D?Rn为状态变量；f:D?Rn是关于x局部Lipschitz的；x0是系统初始条件。假设D为包含x?0点的域，且x?0为式(2-1)系统的一个平衡点，即f(0)?0。

根据微分方程理论可知，在f(?对于任意初始条件x0，)是关于x局部Lipschitz的条件下，式(2-1)系统的解x(t)??(x0,t)在[0,??)上有定义且是连续的。以后的讨论中，除非特别声明，均假设系统满足上述解的存在性条件。

需指出，这里只讨论平衡点在坐标原点的稳定性问题。这是不失一般性的。因为任何

??f(x),f(xe)?0,xe?0，则令y?x?xe，那平衡点均可通过坐标变量变换而移到原点，如x??x??f(y?xe)?g(y),g(0)?0，平衡点为ye?0。 么，就有y为此，对于式(2-1)系统有如下的一些平衡点稳定性定义。

定义2.1（Lyapunov稳定性）如果对于任意给定的??0，存在一个常数???(?)?0，使得对任意满足||x0||??的初始条件x0，式(2-1)系统的解x(t)满足

(2-2) ||x(t)||??,?t?0 则称式(2-1)系统在平衡点xe?0处是Lyapunov稳定的，简称稳定。

定义2.2（渐近稳定性）如果式(2-1)系统的平衡点xe?0是稳定的，且选取?使得

||x0||???limx(t)?0

t??(2-3)

或等价地，存在a?0和T?T(a)?0，使得||x0||?a,?t?T，则称式(2-1)系统在平衡点xe?0处是渐近稳定的。

定义2.3（指数稳定性）如果存在常数m,??0，使得对任意满足||x0||??的初始条件x0，式(2-1)系统的解x(t)满足

||x(t)||?me??t||x0||,?t?0

(2-4)

则称式(2-1)系统在平衡点xe?0处是指数稳定的。

定义2.4（不稳定）如果对于某一个??0，不管?多么小，至少存在一个x0，使得||x0||??时，式(2-1)系统的解x(t)有

(2-5) ||x(t1)||??,t1?0 则称式(2-1)系统在平衡点xe?0处是不稳定的。

注2.1 由上述定义可以知道，一个系统在平衡点处如果是指数稳定的，就一定是渐近

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稳定的、Lyapunov稳定的，如果是渐近稳定的就一定是Lyapunov稳定的；但反之，若是Lyapunov稳定的，不一定是渐近稳定的，是渐近稳定的，不一定是指数稳定的。

注2.2 对于非线性系统，还要注意局部稳定性和全局稳定性的概念。局部稳定性是指对于?x(0)?Bh?{x?Rn|||x?xe||?h}，性能成立。而全局稳定性是指?x(0)?Rn，性能均成立。

注2.3 对于线性定常系统，渐近稳定性总是全局的和指数稳定的，不稳定总是隐含指数发散的。只有非线性系统才区别渐近稳定性、指数稳定性、全局稳定和局部稳定。线性系统的局部稳定性和全局稳定性是一致的，因为线性系统只有一个平衡点，平衡点的稳定性，即是系统的全局稳定性。 2.1.2 时变系统平衡点稳定性

考虑非线性时变系统

??f(t,x) x(2-6)

式中，x?D为状态变量；t?R?为时间变量；f:[0,?)?D?Rn是t的分段连续函数，且关于x在[0,?)?D上局部Lipschitz，D?Rn是包含原点x?0的域。f(t,0)?0,?t?0，即x?0是平衡点。

同样，也只研究平衡点在原点的情况。如果平衡点不在原点，可以通过坐标变换将其移到原点。例如，假设系统系统变换为

?(?)?g(t?a,x?y(t?a))?y?(t?a)??g(?,y)?yx?g(t?a,x?y(t?a))?g(t?a,y(t?a))?f(t,x)?dy通过坐标变换x?y?y(?),t???a，?g(?,y)的解为y(?),??a，

d?

??f(t,x)在t?0时的一个平衡点，可以通过判别被变换系统在原点因此，原点x?0是系统x的稳定性能，来确定原系统解y(?)的稳定性能。

对于任意初始条件x(t0)?x0,(x0,t0)?D，式(2-6)系统的解x(t)??(t,t0,x0)在[t0,?)上有定

义且是连续的。非自治系统平衡点处的稳定性概念与上面介绍的自治系统的稳定性概念基本相同，不同的是自治系统的解仅依赖于t?t0，而非自治系统的解既依赖于t，又依赖于t0。因此，对于非自治系统，各种稳定性的定义需要修改，而且需要更详细的划分。

定义2.5（Lyapunov稳定性和一致Lyapunov稳定性）如果对于任意给定的??0及初始时刻t0?0，存在一个常数???(?,t0)?0，使得对任意满足||x(t0)||??的初始条件x(t0)，式(2-6)系统的解?(t,t0,x0)满足

(2-7) ||?(t,t0,x0)||??,?t?t0?0 则称平衡点xe?0是Lyapunov稳定的。

如果在上述定义中，???(?)?0而与t0无关，则称平衡点xe?0是一致Lyapunov稳定的。

如果式(2-7)对任意x(t0)?Rn成立，则称平衡点xe?0是全局稳定的。

定义2.6（渐近稳定性和一致渐近稳定性）如果式(2-6)系统的平衡点xe?0是稳定的，且存在c?c(t0)?0使得

lim||?(t,t0,x0)||?0,?||x(t0)||?c

t??(2-8)

则称平衡点xe?0是渐近稳定的。

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如果平衡点xe?0是渐近稳定的，且存在的c与t0无关，则称平衡点xe?0是一致渐近稳定的。

如果平衡点xe?0是一致稳定的，且对于每对正数?和c，存在T?T(?,c)?0，使得 (2-9) ||x(t)||??,?t?t0?T(?,c),?||x(t0)||?c 则称平衡点xe?0是全局一致渐近稳定的。

定义2.7（指数稳定性）若式(2-6)系统在平衡点xe?0是渐近稳定的，且存在正数k?0和??0，使得下式成立：

||x(t)||?k||x0||e??(t?t0),?t?t0,?||x(t0)||?c

(2-10)

则称平衡点xe?0是指数稳定的。如果式(2-10)对任意x(t0)?Rn成立，则称平衡点xe?0全局指数稳定。

需指出，时变系统平衡点的指数稳定即为一致指数稳定。

2.2 平衡点稳定性判别方法

第2.1节给出了系统平衡点各种稳定性的定义，平衡点的稳定性是可以根据这些定义来判别的，但是直接由定义进行系统稳定性判别，有时候是很困难的，因此，控制理论发展了平衡点稳定性判别方法。

2.2.1 自治系统平衡点稳定性判据

1. Lyapunov稳定性定理

定理2.1 对于式(2-1)系统，令x?0是平衡点，D?Rn是包含x?0的域，V:D?R是连续可微函数。如果在D内，有

(1)V(x)?0，且V(0)?0，即V(x)在D内是正定函数；

?(x)?0,即V?(x)是半负定函数。 (2)V则系统在平衡点x?0处是Lyapunov稳定的。 2. 渐近稳定性定理

定理2.2 对于式(2-1)系统，令x?0是平衡点，D?Rn是包含x?0的域，V:D?R是连续可微函数。如果在D内，有

(1)V(x)?0，且V(0)?0，即V(x)在D内是正定函数；

?(x)?0,且V?(0)?0即V?(x)是负定函数。 (2)V则系统在平衡点x?0处是渐近稳定的。

定理2.3 （全局渐近稳定）对于式(2-1)系统，令x?0是平衡点，V:Rn?R是连续可微函数。如果

(1)V(0)?0，V(x)?0,?x?0,||x||???V(x)??；

?(x)?0,?x?0。 (2)V则系统在平衡点x?0处是全局渐近稳定的。 3. 指数稳定性定理

定理2.4 对于式(2-1)系统，令x?0是平衡点，D?Rn是包含x?0的域。如果存在连续函数V(x)，常数?1,?2,?3?0，使得对任意的x?D，有

(1)?1||x||2?V(x)??2||x||2；

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