第十四章 线性动态电路的(2)

F(S)???f(t)e?stdt 0??(1)单位阶跃函数的象函数 f(t)??(t) F(s)? [?(t)]????(t)e?stdt0????e?stdt 0??1??e?st 0s(2)单位冲激函数的象函数 f(t)??(t) F(s)? [?(t)]????(t)e?stdt0?????(t)e?stdt 00??e?s0?1 (3)指数函数的象函数 f(t)?eat at?st?F(s)? ?e?e???0?edtat???1?(s?a)t?e 0s?a?1 s?a 多媒体课件展示：14.2 拉普拉斯变换的基本性质 1.线性性质 若 [f1(t)]?F1(S) , [f2(t)]?F2(S)则 ?A1f1(t)?A2f2(t)??A1 ?f1(t)??A2 ?f2(t)? ?A1F1(S)?A2F2(S) 证： ?A1f1(t)?A2f2(t)????A1f1(t)?A2f2(t)?e?stdt 0? ??A1f1(t)e?stdt??A2f2(t)e?stdt 00???A1F1(S)?A2F2(S) 根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行计算。 2. 微分性质 （1）时域导数性质 ?udv?uv??vdu 若： ?f(t)??F(S) ?df(t)?则 ??sF(s)?f(0?)?dt?? ?df(t)?证： ???dt????0??df(t)?stedt???e?stdf(t)0dt ?e?stf(t)?0????e?stf(t)(?s)dt 0???f(0?)?sF(s) （2）频域导数性质 设： [f(t)]?F(s) 则： [?tf(t)]?dF(s)ds ?d??st证： ??f(t)edt???f(t)(?t)e?stdt 0ds0? [?tf(t)] 3.积分性质 设： [f(t)]?F(s) t1则： [??f(t)dt]?F(s) 0s证：令 [??f(t)dt]??(s)0t ?dt?[f(t)]? f(t)dt ???0?dt?? F(s)?s?(s)???f(t)dt0tt?0??s?(s) 4.延迟性质 [f(t?t0)]?e?stF(s)设： [f(t)]?F(s) 则： 0注意：f(t?t0)?0 当 t?t0 证： ?f(t-t0)????f(t?t0)e?stdt0? ???f(t?t0)e?s(t?t0)e?st0dt t0令t?t0???? e?st0??0?f(?)ed??e?s??st0F(s)（e?st0延迟因子） 5.初值定理和终值定理 初值定理：f(t)在t = 0处无冲激则 f(0?)?limf(t)?limSF(S) ?t?0s??终值定理： limf(t)存在时，f(?)?limf(t)?limSF(S) t??s?0t??证：利用导数性质 ?dlim??f(t)e?stdt?lim[SF(S)?f(0?)] s?00dts?0?d??st?f(t) f(t)limedt?0?dts?00??f(?)?f(0?)?limSF(S)?f(0?) s?0拉普拉斯变换的性质例题：多媒体课件展示。 多媒体课件展示：14.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开 用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。 由象函数求原函数的方法： (1)利用公式 f(t)?2?j?c?j?1c?j?F(s)estds (2)对简单形式的F(S)可以查拉氏变换表得原函数 (3)把F(S)分解为简单项的组合 （部分分式展开法） F(s)?F1(s)?F2(s)?????Fn(s) ? f(t)?f1(t)?f2(t)?????fn(t) 象函数的一般形式： N(s)a0sm?a1sm?1?????amF(s)?? (n?m) nn?1D(s)b0s?b1s?????bn 设n?m，F(s)为真分式 （1）若D(s)?0有n个单根分别为p1???pn 利用部分分式可将F(s)分解为： F(s)?kk1k?2?????n s?p1s?p2s?pn? f(t)?k1ep1t?k2ep2t????knepnt （k1,k2,???,kn为待定常数） 待定常数的确定： 方法1 ki?F(s)(s?pi)s?pi i?1,2,3,?,n 方法2 （求极限的方法） N'(s)(s?pi)?N(s)N(pi)N(s)(s?pi) ?lim ?ki?lim''s?ps?piiD(s)D(pi)D(s)原函数的一般形式： f(t)?N(pn)pntN(p1)p1tN(p2)p2te?e?????e '''D(p1)D(p2)D(pn) （2）若D(s)?0有共轭复根 ?p1???j?一对共轭复根为一分解单元设：? p???j??2F(s)?N(s)N(s)? D(s)(s???j?)(s???j?)D1(s)K1K2N(s)??1 s???j?s???j?D1(s)?K1,K2也是一对共轭复根， 设K1?Kej? K2?Ke-j? f(t)?(K1e(??j?)t?K2e(??j?)t)?f1(t) ?(Kej?e(??j?)t?Ke?j?e(??j?)t)?f1(t) ?Ke?t[ej(?t??)?e?j(?t??)]?f1(t) ?2Ke?tcos(?t??)?f1(t) 方法二：配方法，根据 [sin?t] ?? s2??2S?1?1S?11S ???(S?1)2?22(S?1)2?22(S?1)2?22S2?2S?51f(t)?e?tcos2t?e?tsin2t ?1.118e?tcos(2t?26.6?) 2（3）若D(s)?0具有重根 a0sm?a1sm?1?????amF(s)? n(s?p1)F(s)?K1n?1K1nK11K12??????? 2n?1ns?p1(s?p1)(s?p1)(s?p1)S?p1K1n?[(s?p1)nF(s)] K1n?1?[K1n?2d(s?p1)nF(s)]dss?p11d2n?[(s?p)F(s)]122!dss?p1…… ?1?dn?1nK11??(s?p)F(s)1?n?1(n?1)!ds??s?p1 小结： 由F(s)求f(t) 的步骤： （1）n =m 时将F(s)化成真分式和多项式之和 F(s)?A?N0(s) D(s)（2）求真分式分母的根，确定分解单元； F(s)?A?KnK1K2?????? s?p1s?p2s?pn

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