一些特殊矩阵的秩等式(3)

推论 若两个n阶方程的乘积为零矩阵，则这两个矩阵的和不超过n 例5.3 已知n阶方阵A的秩为m，求其伴随矩阵A?的秩. 解 （i）若m?n?1则A??0 所以rank(A?)?0

(ii)若m?n?1 所以|A|?0所以AA??0

又因为m?n?1 所以A??0 所以rank(A?)?1 所以rank(A?)?1

（iii）若m?n?1 所以|A|?0 所以AA??|A|I 所以|A?|?|A|n?1?0. 所以秩rank(A?)?n.

例5.4 设A为n阶方阵.证明若rank(A)?rank(A2), 则 rank(A)?rank(A3)?rank(A4)??

证明 若A为满秩方阵，则结论显然.故下设A为降秩方阵.设J为A的若尔当标准型，则存在方阵P使

?J1?0??? P?1AP?J????? （5.1）

?0?J?s??其中J1,?,JS为若尔当块，由于|A|?0,故有A有特征值0.若特征根为0的若尔当块Ji的阶大于1，

则必有 rank(Ji2)?rank(Ji), 从而rank(A2)?rank(A). 这与r(A)?r(A2)矛盾.故特征值根为0的若尔当块Ji必为1阶.即Ji?0.于是

?J1????Jt J????????????,J1,?Jt均为满秩.

0????0??由此可知：rank(J)?rank(J2)?rank(J3)??.从而由（5.1）可知；

rank(A)?rank(A2)?rank(A3)??

例5.5 设A,B,C是任意3个矩阵，乘积ABC有意义，证明： rank(ABC)?rank(AB)?rank(BC)?rank(B).

证明 设B是n?m矩阵，rank(B)?r，那么存在n阶可逆阵P,m阶可逆Q，使

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?EB?P?r?00??Q （5.2） 0??N?把P,Q适当分块P??M,S?,Q???.由（5.2）式有

?T??E B??M,S??r?00??N?????MN 0??T?所以 rank(ABC)?rank(AMNC)

?rank(AM)?rank(NC)?r

?rank(AMN)?rank(MNC)?rankB ?rank(AB)?rank(BC)?rankB

例5.6 A1,A2,?,Ap都是n阶矩阵，A1A2?Ap?0. 证明：这p个矩阵之秩之和?(p?1)n.

证明 由上题可得0?rank(A1A2?AP)?rankA1?rank(A2?AP)?n ?rank(A1)?rank(A2)?rank(A3?AP)?2n ???rank(A1)?rank(A2)??rank(Ap)?(p?1)n 所以 rank(A1)?rank(A2)??rank(Ap) ?(p?1)n

例5.7设A是s?n实矩阵，求证：rank(En?A'A)?rank(Es?AA')?n?s.

?Es证明 因为??0?Esrank?'?A?A??Es??En??A'A??Es??En???A'0??Es?AA'???En??00??, En?A??Es?AA'???En??00?'??rank(Es?AA)?n. （5.3） En??Es又因为 ?'??A?Esrank所以 ?'?A0??Es? ?En??A'A??Es?= En???0? '?En?AA?0A?''? ?rank(Es)?rank(En?AA) ?s?rank(En?AA) （5.4） En?由（5.4）-（5.3）可解得 rank(En?AA')?rank(Es?AA')?n?s

例5.8设A,B均为n级方阵，则rank(AB?E)?rank(A?E)?rank(B?E).

0??A?E?A?E证明 ?1?A?br2??br?????????????0B?E???0

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AB?E??AB?Ebc1?bc2?E???????????????B?EB?E???AB?A?,

B?E??

故 rank(AB?E)?rank(A?E)?rank(B?E).

例5.9设A是n阶矩阵，则rank(En?ATA)?rank(Es?AAT)?n?s.

?E?ATAAT??En?En?ATA0?T证明 ?br?A?brbc?bc?A???????????????????????????12?12????A0E0E??s????Enbr?(?A)?br21??????????????????0E?T?nbc?bc?(?A)?21?Es?AAT????????????????????0AT0AT?? Es??, T?Es?AA?则 rank(En?ATA)?rank(Es)?rank(En)?rank(Es?AAT) 故 rank(En?ATA)?rank(Es?AAT)?n?s

例5.10设A是n阶方阵，则rank(A?E)?rank(A?E)?n?A2?E.

?A?E证明 ??00??A?Ebr2?E?br1??????????????A?E???A?E0??A?Ebc1?E?bc2???????????????A?E???2E0? A?E???A?EA?Ebc2??bc1?2???????????????????2E?1??(E?A2)?0A?Ebr1??br2?2???????????????????20??2E1?(E?A2)?, 2?0?则 rank(A?E)?rank(A?E)?rank(E?A2)?n,

故 rank(A?E)?rank(A?E)?n?rank(E?A2)?0?A2?E.

?A例5.11 设A是n阶可逆阵，且r??CB??n,试用A,B,C表示X ?X?B0?AB??A???1?1?A解 ?br?CA?brbc?bc?AB21?21?????????????????1????????????????????0X?CA?1B?, CX0X?CAB???????AB?则 rank??rank(A)?rank(X?CA?1B)?n?rank(X?CA?1B)?n, ??CX?故 rank(X?CA?1B)?0， 因而 X?CA?1B.

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小结

矩阵是高等代数中的一个重要内容，而矩阵的秩更是在代数中起着一个重要的作用，通过对前面的内容介绍我们已经了解了什么是矩阵的秩，并且知道了矩阵的秩有什么应用及矩阵的一些特殊秩等式的题型及解法.对这些知识的总结使我们更好的理解了矩阵可特征与矩阵的秩的关系.扩展了解题思路.

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致 谢

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