一些特殊矩阵的秩等式

一些特殊矩阵的秩等式

引言

矩阵的秩可以利用矩阵的非零子式的阶数定义，也可以利用矩阵的行向量组或列向量组的秩来定义，即：

定义1 设A是数域F上的m?n矩阵，称矩阵A不为零的最高阶数为矩阵A的秩. 定义2设A是数域F上的m?n矩阵，?1,?2,?,?m是其行向量组，?1,?2,?,?n是其列向量组，称向量组?1,?2,?,?m的秩为A的行秩，向量组?1,?2,?,?n的秩为A的列秩.

可以证明，对矩阵A，行秩等于列秩.称矩阵A的行秩(列秩)为矩阵A的秩. 记作

rank(A).

矩阵的秩是矩阵的一种重要特征，利用矩阵的秩特征，可以讨论矩阵的一些性质.很多特殊矩阵的特征都可以利用秩关系来刻画.

本文将在已有关于矩阵秩关系的基础上，在第一部分主要讨论诸如幂等矩阵、对合矩阵等特殊矩阵的秩等式关系，第二部分则主要讨论矩阵运算下的秩关系.

A是矩阵，AT为A的转置矩阵，I为单位矩阵，A?为A的伴随矩阵. In为n?n的

单位矩阵，Vn为n维线性空间.如果矩阵A,B?Cn?n,满足A2=A,B2?In,则分别称A、

B为幂等矩阵、对和矩阵.

1 幂等矩阵的秩恒等式

定理1.1[1] n阶矩阵A满足A2=A，则rank(A)+rank(I?A)=n. 证明 （证法一） 设rank(A)=r，由A2=A可得A(A?I)=0，

则(A?I)的每一个列向量都是以A为系数的方阵的齐次线性方程组的解向量.

(i)当r=n时，由于齐次线性方程组只有零解，故此时A?I=0， 即此时 rank(A)=n，rank(A?I)=0，rank(A)+rank(A?I)=n， 结论成立.

(ii)当r?n时，由于齐次线性方程组的基础解系中含有n?r个向量，从而(A?I)的列向量组的秩?n?r，

所以有 rank(A)+rank(A?I)?n.

另一方面，由于rank(A?I)=rank(I?A)， 故有 n=rank(I)=rank(A?I?A)

?rank(A)+rank(I?A) =rank(A)+rank(A?I)

从而 rank(A)+rank(A?I)=n.

（证法二）充分性：因为A是幂等矩阵，所以A2=A，于是A(A?I)=0， 则有 rank(I?A)+rank(A)?rank?(I?A)?A?=rank(I)=n. 且有 rank(I?A)+rank(A)?n 综上得证.

必要性：由于rank(I?A)+rank(A)=n.可设(I?A)X1=0的解空间为V1,

AX2?0的解空间为V2,则有V1?V2?Vn,

对任意X?Vn,有 A2(X1?X2)?A(AX1?AX2)?A(X1), 得证

2 对合矩阵的秩恒等式

定理2.1[1] n级矩阵A满足A2=I,则rank(I?A)+rank(I?A)=n 证明（证法一）设A?I=(b1,b2,?,bn),由A2=I得 (A?I)(A?I)=0, (A?I)bi?0,i?1,2,?,n. 所以A?I的每一列均为(A?I)x=0的解.

rank(A?I)?n-rank(A?I)

即 rank(A?I)+rank(A?I)?n 而由A2=I可知，|A|=1或-1，所以|A|?0，rank(A)=n.所以 rank(A?I)+rank(A?I) ?rank(A?I?A?I)

=rank(2A)=n 由（2.1）（2.2）式结合得 rank(I?A)+rank(I?A)=n （证法二）充分性 因为A是对合矩阵，所以A2=I，

2

2.1）2.2）（ （

于是 (A?I)(A?I)=0，

则 rank(A?I)+rank(A?I)?rank?(A?I)?(A?I)?=rank(2I)=n 且有 rank(I?A)+rank(A?I)?n 综上得证.

必要性：由于rank(I?A)?rank(I?A)?n,可设(I?A)X1?0的解空间为V1,(A?I)X2?0的解空间为V2，则有V1?V2?Vn. 对任意X?Vn，

有 A2(X1?X2)?A(AX1?AX2)?A(X1?X2)?AX1?AX2?X1?X2?I(X1?X2) 得证.

3矩阵的满秩分解

定义3.1：设A是秩为(r?0)的m?n矩阵，若存在m?r列满秩矩阵F和r?n行满秩矩阵G，使得 A?FG (3.1) 则称（3.1）式为矩阵A的满秩分解.

A的两个满秩分解，则 定理3.1 设A的秩为r，且A?FG11?F2G2为矩阵

（1）存在r阶的满秩方阵B,使得 F1?F2B,G1?B?1G2; （3.2）

TTT?1（2）证明 G1 (G1G1T)?1(F1TF1)?1F1T?G2(G2G2)(F2TF2)?1F2T （3.3）

证明 （1）因为A有满秩分解FG11?F2G所以

TT??F1G1G?F2G2G1 ?T T??F1F1G1?F1F2G2又

rank(G1G1T)?rank(G1)?r,rank(FF1)?rank(F1)?r,T1

故G1G1T与F1TF1皆为r阶满秩方阵，故由知

TT?1 F1?F2G2G1 (GG?F2B, （3.4）11)其中B?G2G1T(G1G1T)?1,且G1?(F1TF)?1F1TF2G2?CG2. （3.5） 分别将（3.4）、(3.5)式代入A?FG11?F2G2, 得 F2BCG2?F2G2,

3

TT即 F2TF2BCG2G2?F2TF2G2G2.

从而BC?E,即 C?B?1. （3.6） （2）将（3.2）式代入（3.3）式左端有

TT?1T?1T G1(GG11)(F1F1)F1

TT ?G2(BT)?1(B1?1G2G2(BT)?1)?1(BTF2TF2B)?1BTF2T

TT?1?G2(BT)?1BT(G2G2)BB?1(F2TF2)?1(BT)?1BTF2T TT?1?G2(G2G2)(F2TF2)?1F2T.

即证.

定理3.2 设A?Crm?n(r?0),则必有分解式A?QR,其中Q是m?r矩阵，QHQ?I,而R是r?n矩阵，它的r个行线性无关.其中，QH为Q的转置共轭矩阵.

证明 作A的满秩分解A?FG, 其中F?Crm?r,G?Crr?n,知可将F分解F?QR1,其中且QHQ?I.于是这里R?R1G,它的r行线性无关. R1为r阶非奇异矩阵，Q为m?r矩阵，

例3.1设A是非零的实对称矩阵，则A为幂等矩阵的充要条件是存在列满秩矩阵

F，使得A?F(FTF?1)FT.

证明 当A?F(FTF?1)FT时，易知A?A2;反之，将A做满秩分解得，A?FG. 因为AT?A,所以A?FG?GTFT,

于是存在非奇异矩阵P，使得 GT?FP,A?FPTFT, 又因为A2?A,即 FPTFTFPTFT?FPTF, 等式两边左乘(PT)?1(FTF)?1FT,右乘F(FTF)?1,得 FTFPT?E, 所以 PT?(FTF)?1,带入A?F(FTF)?1式， 即得 A?F(FTF)?1FT， 证毕.

4 三幂等矩阵的秩特征

定义 如果矩阵A?Cn?n,满足A3?A,那么称A为三幂等矩阵. 命题4.1 [6]设A?Cn?n,

则 rank(A)?rank(A?A3)?rank(A?A2)?rank(A?A2). （4.1）

4

由此式得到了判定矩阵是三幂等的充要条件的秩恒等式，即刻画三幂等矩阵的之特征:

命题4.2[6-8]设A?Cn?n,

则 A3?A?rank(A)?rank(A?A2)?rank(A?A2). （4.2）

命题4.3[9]设A?Cn?n,

则 A3?A?rank(A)?rank(E?A2)?n. （4.3） 命题4.2、 4.3都可以作为三幂等矩阵判定的充要条件.下面我们在给出一些三幂等矩阵的秩的一些等式，

如： rank?(E?A)(E?A)??rank?(E?A)A??rank?(E?A)A??n, （4.4） rank(A)?rank?(E?A)A??n, （4.5） rank(E?A)?rank?(E?A)A??n, （4.6） rank(E?A)?rank?(E?A)A??n, (4.7)

rank(A)?rank(E?A)?rank(E?A)?2n (4.8)

rank(A)?rank(E?A2?A)?n?rank(A2). （4.9) 由（4.3）和（4.9）得出: rank(E?A2?A)?rank(E?A2)?rank(A2) (4.10) 4.1 矩阵A的两个多项式秩的和的恒等式

定理4.1 设A?Cn?n,f(x),g(x)?P?x?,则

rank(f(A))?rank(g(A))?rank(d(A))?rank(m(A)) (4.11)

当(f(x),g(x))?d(x)?1时，由定理4.1可得到[9,定理3],若还有f(A)g(A)?0,那么还可得到[11,定理1].

定理4.1是我们最近得到的矩阵A的多项式秩的一个恒等式，且恒等式（4.11）还有许多其他的应用.

例4.1 设f(x)?x?x2,g(x)?x?x2,

从d(x)?(f(x),g(x))?x,m(x)??f(x),g(x)??x?x3和定理4.1可知秩恒等式（4.1）成立，进而可得命题4.2.

例4.2当f(x)?x,g(x)?1?x2,由(f(x),g(x))?1,(f(x),g(x))?x?x3和定理4.1得命题4.3.

4.2 关于三幂等矩阵秩的等式的进一步讨论

5

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库一些特殊矩阵的秩等式在线全文阅读。