一些特殊矩阵的秩等式(2)

例4.3 设A?diag(1,?1,?1,0,0),则A3?A,且(E?A)A?diag(2,0,0,0,0). 因此rank(A)?rank?(E?A)A??3?1?5,由此可见对三幂等矩阵A来说秩等式（4.5）是不成立的.

例4.4 设A?(1?2)E?Cn?n,则A2?(3?22)E,从E?A2?A?(?A?2)E 知： rank(A)?rank(E?A2?A)?n?rank(A2)?2n 即此时A满足秩等式（4.9），但A3?(7?52)E?A.

例4.5说明（4.9）不是A3?A的充分条件，它仅是A3?A的必要条件，因此（4.9）不能成为刻划三幂等矩阵的之特征等式.

虽然秩等式（4.10）成立，但是A3?A2?A.所以（4.10）不能用来刻划三幂等矩阵.

4.3 三幂等矩阵的秩特征等式 定理4.2 设A?Cn?n，则

rank?(E?A)(E?A)??rank?(E?A)A??rank?(E?A)A??n?2rank(A?A3) (4.12) rank(E?A)?rank?(E?A)A??n?rank(A?A3) （4.13） rank(E?A)?rank?(E?A)A??n?rank(A?A3) （4.14） rank(A)?rank(E?A)?rank(E?A)2n?rank(A?A3) （4.15）

证明 设f(x)?x,g(x)?1?x2,从(f(x),g(x))?1,?f(x),g(x)??x?x3和（11）得： rank(A)?rank(E?A2)=n?rank(A?A3) （4.16） 进而从（4.1）和（4.16） rank?(E?A)(E?A)??rank?(E?A)A??rank?(E?A)A?

22(A?A)?rank(A?A)? ?rank(E?A2)?rank??? 3rank(A)?rank(A?A)? ?rank(E?A2)???? 23?rank(E?A)?rank(A)?rank(A?A) ???? =n?2rank(A?A3) 即（4.12）成立.

设

（4.13）. 得(f1(x)?1?x,g1(x))?(1?x)x,由?f1(x),g1(x)??1，?f1(x),g1(x)??x?x3和(4.11） 6

同理由f2(x)?1?x,g2(x)?(1?x)x,可由（4.11）和（4.14）成立;

设f3(x)?1?x,g3(x)?(1?x)x,

由（4.11）可得： rank(E?A)?rank(E?A))?n?rank(E?A) （4.17） 这样从（4.16），（4.17）得：

rank(A)?rank(E?A)?rank(E?A)?rank(A)?[rank(E?A2)?n] ?[rank(A)?rank(E?A2)]?n?2n?rank(A?A3)

即（4.15）成立.定理得证.

定理4.3 设A?Cn?n,f(x)?P?x?是任意的次数?1的多项式，设

3?d(x)?(f(x),x?x3),m(x)??f(x),x?x??,

则 rank(f(A))?rank(A?A3)?rank(d(A))?rank(m(A)) (4.18) A3?A?rank(f(A))?rank(d(A))?rank(m(A)) （4.19） A3?A?rank(A?A3)?rank(A)?rank(A?A5) （4.20） A3?A?rank(A?A4)?rank(A?A2)?rank(A?A2?A4?A5) （4.21）

证明 矩阵恒等式（4.18）可由（4.11）得到，进而知（4.19）成立.

取f1(x)?x?x3.有(f1(x),x?x3)?x,[f1(x),x?x3]?x(1?x2)(1?x2)?x?x5,由（4.19）知（4.20）成立；

取f2(x)?x?x4?x(1?x3),则(f2(x),x?x3)?x(1?x)?x?x2,

进而[f2(x),x?x3]?x?x2?x4?x5,这样由（4.19）知（4.21）成立.定理得证.

定理4.3的证明过程说明，还有大量的三幂等矩阵的秩特征等式.

5矩阵的秩与运算的关系

定理 5.1矩阵和的秩不超过两个矩阵秩的和. 即 rank(A?B)?rank(A)?rank(B).

?a11?a1n??b11?b1n?????证明 A??????，B??????

?a??b??m1?amn??m1?bmn?A的行空间V1?L(?1,?2,?,?m)其中?i?(?i1,?i2,??in) i?1,2,?n

B的行空间V2?L(?1,?2,?,?m)其中?i?(?i1,?i2,??in) i?1,2,?m

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所以A?B的行空间为 V3?L(?1??1,?2??2,?,?m??m) 因为 ?i??i?V1?V2, i?1,2,?m 所以 V3?V1?V2 ，所以 dimV3?dim(V1?V2) 又因为 dim(V1?V2)?dimV1dimV2

所以 dimV3?dimV1?dimV2， (A?B)?rank(A)?rank(B)

推论 两矩阵差的秩不小于两矩阵秩的差. 即： rank(A?B)?rank(A) ? rank(B)

证明 因为A?(A?B)?B

所以 rank(A)?rank(A?B)?rank(B) 所以 rank(A?B)?rank(A)?rank(B)

定理 5.2矩阵A与数k的乘积kA的秩， 当k?0时，rank(kA)?0当k?0时，rank(kA)?0；

当k?0时，rank(kA)=rank(A)；矩阵A与其转置矩阵A'的秩相同.

定理 5.3矩阵乘积的秩不超过各因子的秩.

即 rank(AB)?min{rank(A)，rank(B)}

?a11?a1n??b11?b1n?????证明 A??????，B??????

?a??b??m1?amn??m1?bmn?B的行空间V1?L(?1,?2,?,?n) 其中?i?(?i1,?i2,??in) i?1,2,?n AB的行空间V1?L(?1,?2,?,?m)， ?i?(?i1?1??i2?2????in?n)

因为?i?V1 i?1,2,?m 所以V2?V1 所以dimV2?dimV ，所以rank(AB)?rank(B) 同理有： rank(AB)? rank(A)

所以： rank(AB)?min{rank(A)，rank(B)}.

推论 数域F上m?n矩阵对于任一个阶m可逆方阵P和n阶可逆方阵Q， 有 rank(A)?rank(PA)=rank(AQ)?rank(PAQ)

证明（i）rank(PA) ?rank(A)又A?P?1(PA) 所以 rank(A)?rank(PA)

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所以 rank(A)?rank(PA) （ii）rank(AQ)?rank(A)，

又 A?(AQ)Q?1 所以 rank(A)?rank(AQ)， 所以 rank(A)=rank(AQ)

由（i）和（ii）得 rank(A)?rank(PA)=rank(AQ)?rank(PAQ).

?I由于任何一个矩阵可由初等矩阵变换化为形如?r?0?I阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，有A?P?r?00?即对矩阵Amn存在m?的矩阵，

0?0??Q， 由相似矩阵和合同矩阵的定义0?我们又可以得出相似矩阵的秩相同，合同矩阵的秩相同.

例5.1证明：若A?r则A可表示为r个秩为1的矩阵的和，但不能表示为少于r个这种矩阵的和.

证明 （i）因为rank(A)?r ，所以A是m?n矩阵?存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q有A,其中Ei是第i行第i列交叉处元素为1其余为0的m?n的矩阵.所以

rank(PEiQ)=rank(Ei)=1.

（ii）若A能表成S个秩为1的矩阵Bi(i?1,2,?,s)的和，rank(A)??Bi，

i?1r所以A??rank(Bi)?s，所以s?r

i?1s所以由（i）（ii）得该题结论成立.

?c11?c1n??c11?c1s?????例5.2 设C??????，C1??????,r?m,s?n

?c??c??m1?cmn??m1?crs?证明 rank(C1)?rank(C?r?s?m?n)

?CC2??C10??0C2??00?证明：因为C??1????????，所以 ???C3C4??00??00??C3C4??00??C0??0C2?C?rank?1??rank(C1)?rank(C2)?rank(C1C2). ??rank???rank?CC0000????4??3 9

?c1s?1?a1n???因为C??????.所以rank(C2)?n?s ， n?s是C2的列数，

?c??rs?|1?crn?(C3?cr?1,1cr?1,2?cr?2,1cr?2,2?C4)?????cm2?cm1?cr?1,n???cr?2,2?

?????cmn?所以rank(C3C4)?m?r， m?r是(C3C4)的行数.

所以 rank(C1)?rank(C?C2)?rank(C(C3C4))rank(C?(n?s)?(m?r))

?rank(C?r?s?m?n)

定理 5.4 m?n矩阵A与n?s矩阵B的乘积AB的秩不小于A与B秩的和减去n.即 rank(AB)?rank(A)?rank(B)?n

证明 因为rank(A)?r ， 所以存在m阶可逆矩阵P1和n阶可逆矩阵Q1

?Ir有A?P1??00??Q1. 因为rank(B)?P ，所以存在n阶可逆矩阵P2和s阶可逆矩阵Q2 0?0??Q2 0?0??Q2. 0??I有 B?P2?p?0?Ir所以 AB?P1??00??Ip?Q1P2?0??0?c11?c1n???记 C?Q1P2??????

?c?c?nn??n1?I所以 ?r?00??IP?C?0??00??C1???0??0?c11?c1n?0???C????，1??? 0??c?c?rn??r1由上题例题可知 rank(C1)?rank(c?r?p?n?c)?r?p?n 又因为P1,Q2可逆.

??I所以 rank(AB)?rank??r??00??IPQP?12?0??00???C10??rank?? ??000???? ?rank(C1)?r?p?n?rank(A)?rank(B)?n

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