韶关市2011年普通高考调研测试数学（文科）试题(3)

?????????13分

所以实数m的值为1或?2. ?????????14分

20．已知数列?bn?前n项和Sn?321n?n.数列?an?满足3an?4?(bn?2)(n?N?)，数列22?cn?满足cn?anbn。

（1）求数列?an?和数列?bn?的通项公式； （2）求数列?cn?的前n项和Tn；

12m?m?1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围。 4解：（1）由已知和得，当n?2时，

3131bn?Sn?Sn?1?(n2?n)?((n?1)2?(n?1))?3n?2 ??2分

2222 （3）若cn?又b1?1?3?1?2，符合上式。故数列?bn?的通项公式bn?3n?2。??3分 又∵3an?4?(bn?2)，∴an?4?(bn?2)3?4?(3n?2)?231?()n， 4故数列?an?的通项公式为an?()， ??????????5分

n14（2）cn?anbn?(3n?2)?()，

14n1111?4?()2?7?()3???(3n?2)?()n， ???????① 4444111111Sn?1?()2?4?()3?7?()4???(3n?5)?()n?(3n?2)?()n?1，??② 444444311213141n1n?1 ①-②得 Sn??3?[()?()?()???()]?(3n?2)?()

444444411()2[1?()n?1]114 ??3?4?(3n?2)?()n?1

1441?411n?1 ??(3n?2)?()，

24212n?81n?1?()。 ??????????10分 ∴ Sn??334 Sn?1?

（3）∵cn?(3n?2)?(),

14n

∴cn?1?cn?(3n?1)?() ??9?()14n?1113n?1?(3n?2)?()n?()n?[?(3n?2)]

44414n?1(n?1),

1。 4 当n?1时，cn?1?cn；当n?2时，cn?1?cn，∴(cn)max?c1?c2? 若cn?1211m?m?1对一切正整数n恒成立，则m2?m?1?即可， 4442 ∴m?4m?5?0，即m??5或m?1。 ??????????14分

21． 已知函数f(x)?alnx?ax?3(a?R)． （Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若函数y?f(x)的图像在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45?，问：m在什么范围取值时，对于任意的t??1,2?，函数g(x)?x?x??f'(x)?在区间(t,3)上总存在极值？

?2?32?m?（Ⅲ）当a?2时，设函数h(x)?(p?2)x?p?2e?3，若在区间?1,e?上至少存在一个x0，x使得h(x0)?f(x0)成立，试求实数p的取值范围． 解：（Ι）由f'(x)?a(1?x)知： x当a?0时，函数f(x)的单调增区间是(0,1)，单调减区间是(1,??)； 当a?0时，函数f(x)的单调增区间是(1,??)，单调减区间是(0,1)；

当a?0时，函数f(x)??3是常数函数，无单调区间。 ?????????4分 （Ⅱ） 由f'?2???a?1?a??2, 22. ?????????6分 x∴f?x???2lnx?2x?3，f'?x??2?32故g(x)?x?x??f'(x)??x?(2?)x?2x，

2?2?∴g'(x)?3x?(4?m)x?2,

∵ 函数g(x)在区间(t,3)上总存在极值，

2?m?3m2∴ 函数g'(x)在区间(t,3)上总存在零点， ?????????7分 又∵函数g'(x)是开口向上的二次函数，且g'(0)??2?0

∴ ??g'(t)?0 ?????????8分

g'(3)?0?222?3t?4，令H(t)??3t?4，则H'(t)??2?3?0， ttt由g'(t)?0?m?所以H(t)在?1,2?上单调递减，所以H(t)?H(t)min?H(1)??9； 由g'(3)?27?(4?m)?3?2?0，解得m??综上得：?37； 337?m??9. 337?32?m,?9)内取值时，对于任意的t??1,2?，函数g(x)?x?x??f'(x)?在3?2?所以当m在(?区间(t,3)上总存在极值。 ?????????9分 （Ⅲ）?a?2,?f(x)?2lnx?2x?3.

令F(x)?h(x)?f(x)，则

p?2ep2e?3?2lnx?2x?3?px???2lnx. xxxp2e?2lnx?0，从而F(x)?0, ①当p?0时，由x??1,e?得px??0,?xxF(x)?(p?2)x?所以，在?1,e?上不存在x0使得h(x0)?f(x0)； ?????????11分

px2?2x?p?2e②当p?0时，F'(x)?, 2x?x??1,e?,?2e?2x?0，px2?p?0,F'(x)?0在?1,e?上恒成立，

故F(x)在?1,e?上单调递增。

?F(x)max?F(e)?pe?p?4. ?????????13分 ep4e. 故只要pe??4?0,，解得p?2ee?1综上所述， p的取值范围是??4e?,??? ?????????14分 2?e?1?

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