2007年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷 理）答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试（海南卷）

数学（理科）试卷参考答案

一、选择题

1．C 2．D 3．A 4．D 5．C 6．C 7．D 8．B 9．C 10．D 11．B 12．B 二、填空题

13．3 14．?1 15．1?2i 16．240 三、解答题

17．解：在△BCD中，?CBD?π???? 由正弦定理得

BCCD?

sin?BDCsin?CBD所以BC?CDsin?BDCs?sin??

sin?CBDsin(???)s?tan?sin?

sin(???)在Rt△ABC中，AB?BCtan?ACB?18．证明：

（Ⅰ）由题设AB=AC=SB=SC?SA，连结OA，△ABC为等腰直角三角形，所以

OA?OB?OC?SO?2SA，且AO?BC，又△SBC为等腰三角形，故SO?BC， 且22SA，从而OA2?SO2?SA2 2所以△SOA为直角三角形，SO?AO 又AO?BO?O． 所以SO?平面ABC （Ⅱ） 解法一：

，OMC取SC中点M，连结AM，由（Ⅰ）知SO?O，OM?S，CA?MS

S?AA，得

∴?OMA为二面角A?SC?B的平面角．

由AO?BC，AO?SO，SO?BC?O得AO?平面SBC

所以AO?OM，又AM?3SA， 2故sin?AMO?AO26 ??AM333 3所以二面角A?SC?B的余弦值为解法二：

以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系O?xyz．

，0，0)，则C(?1，0，，0)A(01，，，0)S(0，01)， 设B(1?11?SC的中点M??，0，?，

22????????1?1??????11????MO??，0，??，MA??，1，??，SC?(?1，0，?1)2?2??2?2

z S ?????????????????∴MO·SC?0，MA·SC?0

M ?????????故MO?SC，MA?SC，

A?SC?B的平面角．

O C

A y x B ??????????????????MO·MA3， cos?MO，MA????????????3MO·MA所以二面角A?SC?B的余弦值为19．解：

3 3（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为

y?kx?2，

代入椭圆方程得

x2?(kx?2)2?1 2整理得 ??1??k2?x2?22kx?1?0 ① ?2?直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于

?1???8k2?4??k2??4k2?2?0，

?2?解得k????2??222??，?∞或k?．即k的取值范围为??∞， ???????2??222??????????（Ⅱ）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则OP?OQ?(x1?x2，y1?y2)，

由方程①，x1?x2??42k ②

1?2k2又 y1?y2?k(x1?x2)?22 ③

????而A(2，，0)B(01，)，AB?(?21，)

????????????所以OP?OQ与AB共线等价于x1?x2??2(y1?y2)，

将②③代入上式，解得k?2 2由（Ⅰ）知k??22或k?，故没有符合题意的常数k 2220．解：

每个点落入M中的概率均为p?

1 4

依题意知X~B?10000，?

??1?4?（Ⅰ）EX?10000?1?2500 4（Ⅱ）依题意所求概率为P??0.03???X??4?1?0.03?，

10000?X??P??0.03??4?1?0.03??P(2425?X?2575)

10000??2574?t?24262574?Ct10000?0.25t?0.7510000?t

2425t?0?t?2426?Ct10000?0.25?0.75t10000?tt??C10000?0.25t?0.7510000?1

=0.9570-0.0423 =0.9147

21．解：

（Ⅰ）f?(x)?1?2x， x?a3 2依题意有f?(?1)?0，故a?2x2?3x?1(2x?1)(x?1)?从而f?(x)? 33x?x?223?3?f(x)的定义域为??，?∞?，当??x??1时，f?(x)?0；

2?2?当?1?x??1时，f?(x)?0； 2当x??1时，f?(x)?0 2从而，f(x)分别在区间??，?1?，?∞?单调增加，在区间??1，???，?3?2??1??2????1??单调减少 2?2x2?2ax?1?∞)，f?(x)?（Ⅱ）f(x)的定义域为(?a，

x?a方程2x?2ax?1?0的判别式??4a?8 （ⅰ）若??0，即?2?a?222，在f(x)的定义域内f?(x)?0，故f(x)的极值

（ⅱ）若??0，则a?2或a??2 (2x?1)2若a?2，x?(?2 ，∞?)，f?(x)?x?2当x????2??22???，?∞时，f?(x)?0，当x???2，时，f?(x)?0，所???????2??22??以f(x)无极值

(2x?1)2若a??2，x?(2?0，f(x)也无极值 ，∞?)，f?(x)?x?2（ⅲ）若??0，即a?2或a??2，则2x2?2ax?1?0有两个不同的实根

?a?a2?2?a?a2?2，x2? x1?22当a??2时，x1??a，x2??a，从而f?(x)有f(x)的定义域内没有零点，故f(x)无极值

当a?2时，x1??a，x2??a，f?(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点，由

根值判别方法知f(x)在x?x1，x?x2取得极值．

综上，f(x)存在极值时，a的取值范围为(2，∞?)

f(x)的极值之和为

f(x1)?f(x2)?ln(x1?a)?x12?ln(x2?a)?x22

1e?ln?a2?1?1?ln2?ln

2222．

P A B O M C

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